5. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da za broj $\overline{aaa}$ vrijedi $\overline{aaa}=100a+10a+a=111a$.

Analogno se dobiva $\overline{aab}=110a+b$, $\overline{abb}=100a+11b$ i $\overline{bbb}=111b$.

Prema tome, iz $\overline{aaa}+\overline{aab}+\overline{abb}+\overline{bbb}=1503$ slijedi:

$$111a+110a+b+100a+11b+111b=1503$$ $$321a+123b=1503 \quad /:3$$ $$107a+41b=501$$ $$b=\frac{501-107a}{41}.$$

Kako su $a$ i $b$ znamenke, mora vrijediti $1\leq\dfrac{501-107a}{41}\leq9$, odnosno $\dfrac{132}{107}\leq a\leq\dfrac{460}{107}$.

Prema tome, mora vrijediti $a\in\{2,3,4\}$.

1. mogućnost: $a=2$

Tada je $b=\dfrac{501-214}{41}=\dfrac{287}{41}=7$.

2. mogućnost: $a=3$

Tada je $b=\dfrac{501-321}{41}=\dfrac{180}{41}$, što nije prirodan broj.

3. mogućnost: $a=4$

Tada je $b=\dfrac{501-428}{41}=\dfrac{73}{41}$, što nije prirodan broj.

Jednakost vrijedi samo kad je $a=2$ i $b=7$.

Traženi troznamenkasti brojevi su $222$, $227$, $277$ i $777$.

Drugo rješenje.

Iz zadnjega stupca u zapisu pisanoga zbrajanja možemo zaključiti da vrijedi $a+3b\in\{13,23,33\}$ jer su $a$ i $b$ prirodni brojevi za koje vrijedi $1\leq a\leq9$ i $1\leq b\leq9$ pa mora biti $1\leq a+3b\leq36$.

Iz prvoga stupca u zapisu pisanoga zbrajanja možemo zaključiti da znamenka $a$ mora biti manja od $5$ jer bi inače zbroj zadana četiri troznamenkasta broja iznosio više od $1503$. Prema tome, mora vrijediti $a\in\{1,2,3,4\}$.

1. mogućnost: $a=1$

Iz $1+3b\in\{13,23,33\}$ slijedi $3b\in\{12,22,32\}$, što je moguće jedino za $b=4$. No, budući je $111+114+144+444=813\neq1503$, zaključujemo $a\neq1$.

2. mogućnost: $a=2$

Iz $2+3b\in\{13,23,33\}$ slijedi $3b\in\{11,21,31\}$, što je moguće jedino za $b=7$. Budući je $222+227+277+777=1503$, zaključujemo da znamenke $a=2$ i $b=7$ zadovoljavaju uvjete zadatka.

3. mogućnost: $a=3$

Iz $3+3b\in\{13,23,33\}$ slijedi $3b\in\{10,20,30\}$, što nije moguće niti za jedan $b$ (jer mora vrijediti $b<10$).

4. mogućnost: $a=4$

Iz $4+3b\in\{13,23,33\}$ slijedi $3b\in\{9,19,29\}$, što je moguće jedino za $b=3$. No, budući je $444+443+433+333=1653\neq1503$, zaključujemo $a\neq4$.

Traženi troznamenkasti brojevi su $222$, $227$, $277$ i $777$.

Treće rješenje.

Zbrajanjem znamenki na mjestu jedinica dobiva se $a+3b=\overline{x3}$, pri čemu je $x\in\{1,2,3\}$ jer su $a$ i $b$ prirodni brojevi za koje vrijedi $1\leq a\leq9$ i $1\leq b\leq9$ pa mora biti $4\leq a+3b\leq36$.

Zbrajanjem znamenki na mjestu desetica dobiva se $2a+2b+x=\overline{y0}$ iz čega slijedi da je $x$ paran broj.

Zaključujemo da mora vrijediti $x=2$, odnosno $a+3b=23$.

Iz uvjeta $1\leq a\leq9$ zaključujemo da mora vrijediti $1\leq23-3b\leq9$, odnosno $\dfrac{14}{3}\leq b\leq\dfrac{22}{3}$. Prema tome, mora vrijediti $b\in\{5,6,7\}$.

1. mogućnost: $b=5$

Tada je $a=23-15=8$. No, budući je $888+885+855+555=3183\neq1503$, zaključujemo $b\neq5$.

2. mogućnost: $b=6$

Tada je $a=23-18=5$. No, budući je $555+556+566+666=2343\neq1503$, zaključujemo $b\neq6$.

3. mogućnost: $b=7$

Tada je $a=23-21=2$. Budući je $222+227+277+777=1503$, zaključujemo da su traženi troznamenkasti brojevi $222$, $227$, $277$ i $777$.