7. Zadatak

Zadatak rješavamo uz pomoć grafičkoga prikaza predstavljajući uređene parove $(x,y)$ kao točke u koordinatnom sustavu.

Prostor elementarnih događaja jest skup

$$S=\{(x,y):x,y\in\mathbb{R},-1\leq x\leq4,0\leq y\leq5\}$$

na slici prikazan kao kvadrat $ABCD$. Njegova površina iznosi $5\cdot5=25$ kv.jed.

Točke $E(-1,3)$ i $F(2,0)$ sa slike su točke presjeka pravca $x+y=2$ s pravcima $x=-1$ i $y=0$. Sve točke $(x,y)$ unutar kvadrata koje su iznad pravca $EF$ zadovoljavaju uvjet $x+y>2$.

Iz uvjeta $|x-y|<2$ slijedi da je $-2<x-y<2$, a sve točke $(x,y)$ za koje taj uvjet vrijedi nalaze se između pravaca $x-y=-2$ i $x-y=2$.

Sjecišta tih pravaca s pravcima na kojima leže stranice kvadrata ($x=-1$, $x=4$, $y=0$, $y=5$) su točke $F(2,0)$, $G(4,2)$, $I(3,5)$ i $H(-1,1)$. Točka $T(0,2)$ je točka presjeka pravca $x+y=2$ i $x-y=-2$.

Skup svih točaka kvadrata $ABCD$ koje zadovoljavaju oba uvjeta iz zadatka na slici je prikazan kao mnogokut $FGCIT$.

Izračunajmo površinu mnogokuta $FGCIT$ kao zbroj površina trokuta $FGT$ i trapeza $TGCIT$.

$$P(FGCIT)=P(FGT)+P(TGCI)=\frac{4\cdot2}{2}+\frac{4+1}{2}\cdot3=4+7.5=11.5\ \text{kv.jed.}$$

Konačno, tražena vjerojatnost iznosi:

$$p=\frac{P(FGCIT)}{P(ABCD)}=\frac{11.5}{25}=\frac{23}{50}=0.46.$$