2. Zadatak

Prvo rješenje.

Najprije početnu jednakost zapišemo u drugome obliku:

$$\frac{\log a}{3}=\frac{\log b}{2} \quad /\cdot6$$ $$2\log a=3\log b$$ $$2\log a-3\log b=0.$$

Primjenom svojstva logaritma preoblikujemo i drugu jednakost:

$$\log(ab)=\log a+\log b=5.$$

Dobivamo sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice

$$\begin{cases} 2\log a-3\log b=0,\\ \log a+\log b=5, \end{cases}$$

čijim rješavanjem slijedi da je $\log a=3$ i $\log b=2$.

Dakle, vrijedi da je $a=10^3=1000$, a $b=10^2=100$.

Konačno je $\sqrt[3]{a}+b^{\frac12}=\sqrt[3]{1000}+100^{\frac12}=10+10=20$.

Drugo rješenje.

Iz jednakosti $\dfrac{\log a}{3}=\dfrac{\log b}{2}$ slijedi $2\log a=3\log b$, odnosno vrijedi $\log a^2=\log b^3$ pa je $a^2=b^3$.

Iz jednakosti $\log(ab)=5$ slijedi da je $ab=10^5$.

Posljednju jednakost kvadrirajmo i primijenimo da je $a^2=b^3$. Slijedi redom:

$$a^2b^2=10^{10},$$ $$b^5=10^{10},$$ $$b=10^2=100.$$

Tada je $a=\dfrac{10^5}{b}=10^3=1000$.

Konačno je $\sqrt[3]{a}+b^{\frac12}=\sqrt[3]{1000}+100^{\frac12}=10+10=20$.