6. Zadatak

Skicirajmo najprije paralelogram (bazu prizme) i označimo zadane elemente.

Izračunajmo površinu $B$ paralelograma primjenom formule za površinu četverokuta kojemu su zadane duljine dijagonala $e$ i $f$ te mjera kuta $\varphi$ između njih.

$$B=\frac12ef\sin\varphi=\frac12\cdot20\cdot30\cdot\sin60^\circ.$$

Budući je $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$, površina paralelograma iznosi $B=300\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=150\sqrt3\ \mathrm{cm}^2$.

Iz formule za obujam (volumen) prizme $V=B\cdot h$ možemo odrediti njezinu visinu $h$:

$$h=\frac{V}{B}=\frac{1500\sqrt3}{150\sqrt3}=10\ \mathrm{cm}.$$

Za određivanje oplošja prizme potrebno je odrediti duljine njezinih osnovnih bridova, to jest, duljine stranica zadanoga paralelograma.

Sjecište dijagonala paralelograma dijeli obje dijagonale na dva dijela jednakih duljina pa duljine stranica paralelograma možemo izračunati primjenom poučka o kosinusu.

$$a^2=15^2+10^2-2\cdot10\cdot15\cdot\cos120^\circ=225+100+150=475$$ $$a=\sqrt{475}=5\sqrt{19}\ \mathrm{cm}$$ $$b^2=15^2+10^2-2\cdot10\cdot15\cdot\cos60^\circ=225+100-150=175$$ $$b=\sqrt{175}=5\sqrt7\ \mathrm{cm}.$$

Preostaje još izračunati oplošje prizme.

$$O=2B+P=2B+2ah+2bh$$ $$O=2\cdot150\sqrt3+2\cdot5\sqrt{19}\cdot10+2\cdot5\sqrt7\cdot10=\left(300\sqrt3+100\sqrt{19}+100\sqrt7\right)\mathrm{cm}^2.$$