4. Zadatak

Prvo rješenje.

Skicirajmo graf funkcije $f(x)=\left||x+2|-|2-x|+2\right|$.

Graf se može skicirati po dijelovima koristeći zapis bez znaka apsolutne vrijednosti:

$$\left||x+2|-|2-x|+2\right|= \begin{cases} 2,&x<-2,\\ -2x-2,&-2\leq x<-1,\\ 2x+2,&-1\leq x<2,\\ 6,&2\leq x. \end{cases}$$

Dana će jednadžba imati točno jedno rješenje ako horizontalni pravci $y=2-a$ sijeku nacrtani graf samo u jednoj točki. To će se dogoditi ako je:

1. $y=2-a=0$, za $a=2$,
2. $2<y<6$, odnosno, $2<2-a<6$, a to je za $-4<a<0$.

Konačno, za $a\in(-4,0)\cup\{2\}$ dana jednadžba ima jedno rješenje.

Drugo rješenje.

Danu jednadžbu rješavamo po intervalima $(-\infty,-2]$, $(-2,2]$ i $(2,+\infty)$.

1. Ako je $x\in(-\infty,-2]$ rješavamo jednadžbu $|-x-2-2+x+2|=2-a$.

Slijedi $2=2-a$.

Tada za $a=0$ dana jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, a za $a\neq0$ nema rješenja.

2. Ako je $x\in(-2,2]$ rješavamo jednadžbu $|x+2-2+x+2|=2-a$, odnosno, $|2x+2|=2-a$.

Kako bismo riješili ovu jednadžbu, promatrat ćemo dva podintervala: $(-2,-1]$ i $(-1,2]$.

2a) Za $x\in(-2,-1]$ rješavamo jednadžbu $-2x-2=2-a$.

Slijedi $x=-2+\frac a2$ i to je jedino rješenje dane jednadžbe na intervalu $(-2,-1]$.

Tada je $-2<-2+\frac a2\leq-1$, odnosno, $0<a\leq2$.

2b) Za $x\in(-1,2]$ rješavamo jednadžbu $2x+2=2-a$.

Slijedi $x=-\frac a2$ i to je jedino rješenje dane jednadžbe na intervalu $(-1,2]$.

Tada je $-1<-\frac a2\leq2$, odnosno, $-4<a<2$.

3. Ako je $x\in(2,+\infty)$ rješavamo jednadžbu $|x+2+2-x+2|=2-a$.

Slijedi $6=2-a$.

Tada za $a=-4$ dana jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, a za $a\neq-4$ nema rješenja.

Konačno, za $a\in(-4,0)\cup\{2\}$ dana jednadžba ima jedno rješenje.