5. Zadatak

Neka je $a=12$ cm duljina stranice trokuta $ABC$.

Označimo $|TP|=k$, $|TQ|=2k$, $|TR|=3k$.

Uočimo da su $|TP|$, $|TQ|$ i $|TR|$ redom visine trokuta $ABT$, $BCT$ i $CAT$.

Tada za površine trokuta vrijedi:

$$P_{ABC}=P_{ABT}+P_{BCT}+P_{CAT},$$

odnosno,

$$\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a\cdot k}{2}+\frac{a\cdot2k}{2}+\frac{a\cdot3k}{2}$$

iz čega slijedi:

$$\frac{12^2\sqrt3}{4}=6k+12k+18k,$$

pa je $k=\sqrt3$ cm.

Stoga je $|TP|=\sqrt3$ cm, $|TQ|=2\sqrt3$ cm i $|TR|=3\sqrt3$ cm.

Uočimo da četverokuti $APTR$, $PBQT$ i $CRTQ$ imaju po dva prava kuta i jedan kut $60^\circ$, a kako je zbroj kutova u četverokutu jednak $360^\circ$ zaključujemo da je

$$\angle PTQ=\angle QTR=\angle RTP=120^\circ.$$

Visina trokuta $PQT$ je $DQ$, što je ujedno i kateta pravokutnoga trokuta $QDT$.

Tada je

$$\sin60^\circ=\frac{|DQ|}{2\sqrt3},$$

odnosno, $|DQ|=3$ cm.

Prema tome,

$$P_{PQT}=\frac{\sqrt3\cdot3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}\text{ cm}^2.$$

Analogno se dobije:

$$P_{QRT}=\frac{9\sqrt3}{2}\text{ cm}^2\qquad\text{i}\qquad P_{RPT}=\frac{9\sqrt3}{4}\text{ cm}^2.$$

Tada je

$$P(PQR)=P_{PQT}+P_{QRT}+P_{RPT}=\frac{3\sqrt3}{2}+\frac{9\sqrt3}{2}+\frac{9\sqrt3}{4}=\frac{33\sqrt3}{4}\text{ cm}^2.$$