3. Zadatak

Neka je $t$ vrijeme potrebno da brod prijeđe $24$ km uzvodno i $28$ km nizvodno, $v_R$ brzina rijeke i $v_B$ brzina broda. Dok brod plovi uzvodno, brzina mu je $v_B-v_R$, a dok plovi nizvodno, brzina mu je $v_B+v_R$.

Kako je $t=\frac sv$, iz zadanih podataka dobiva se sljedeći sustav jednadžbi:

$$\begin{cases} t=\dfrac{24}{v_B-v_R}+\dfrac{28}{v_B+v_R},\\[6pt] t+0.5=\dfrac{30}{v_B-v_R}+\dfrac{21}{v_B+v_R},\\[6pt] t-0.5=\dfrac{15}{v_B-v_R}+\dfrac{42}{v_B+v_R}. \end{cases}$$

Uvođenjem novih nepoznanica $x=\frac3{v_B-v_R}$, $y=\frac7{v_B+v_R}$ sustav prelazi u:

$$\begin{cases} t=8x+4y,\\ t+0.5=10x+3y,\\ t-0.5=5x+6y. \end{cases}$$

Uvrštavanjem $t$ iz prve jednadžbe u preostale dvije imamo redom:

$$\begin{cases} 8x+4y+0.5=10x+3y,\\ 8x+4y-0.5=5x+6y, \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x-y=0.5,\\ 3x-2y=0.5. \end{cases}$$

Rješenje posljednjega sustava je $(0.5,0.5)$. Tada je:

$$\frac3{v_B-v_R}=0.5,$$

odnosno, $v_B-v_R=6$ i

$$\frac7{v_B+v_R}=0.5,$$

odnosno, $v_B+v_R=14$.

Brzina rijeke je $v_R=4$ km/h, a brzina broda $v_B=10$ km/h.

Napomena:

Supstitucijom $x=\frac1{v_B-v_R}$, $y=\frac1{v_B+v_R}$ i istim postupkom početni sustav prelazi u sustav

$$\begin{cases} 6x-7y=0.5,\\ 9x-14y=0.5. \end{cases}$$

Rješenje tog sustava jest $\left(\frac16,\frac1{14}\right)$.