1. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da je odabirom broja $a$ drugi element uređenoga para točno određen, odnosno, vrijedi $b=1000-a$. Stoga je dovoljno odrediti sve mogućnosti za broj $a$.

Jednoznamenkastih brojeva koji nemaju $0$ u svom zapisu je $9$, dvoznamenkastih $9\cdot9$ i troznamenkastih $9\cdot9\cdot9$. To je ukupno $819$ brojeva $a$ koji nemaju u svom dekadskom zapisu $0$.

Međutim, među tim se brojevima nalaze i oni brojevi $a$ koji ne sadrže nulu u svom dekadskom zapisu, a brojevi $b=1000-a$ sadrže nulu. To su brojevi kojima je znamenka desetica $9$, to jest: $91,92,\ldots,99,191,\ldots,199,291,\ldots,299,\ldots,899$.

Takvih brojeva $a$ ima $9$ dvoznamenkastih i $8\cdot9$ troznamenkastih, što je ukupno $81$.

Dakle, uređenih parova prirodnih brojeva $(a,b)$ takvih da je $a+b=1000$ i koji ne sadrže znamenku $0$ u svom dekadskom zapisu ima ukupno $819-81=738$.

Drugo rješenje.

Traženi ćemo broj dobiti tako da od ukupnoga broja svih uređenih parova $(a,b)$ za koje je $a+b=1000$ oduzmemo one koji u svojemu dekadskom zapisu imaju barem jednu znamenku $0$.

Uočimo da je odabirom broja $a$ drugi element uređenoga para točno određen, odnosno, vrijedi $b=1000-a$. Stoga je dovoljno odrediti sve mogućnosti za broj $a$.

Ukupno je $999$ brojeva $a$ za koje je $a+b=1000$.

Nula se u dekadskom zapisu broja $a$ može pojaviti na mjestu jedinica ili na mjestu desetica. Dakle, broj $a$ može biti oblika $x0$, $xy0$, $x00$, $x0y$, gdje su $x$ i $y$ proizvoljne znamenke iz skupa $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Uočimo da ako broj $a$ ima zadnju ili zadnje dvije znamenke $0$, tada i broj $b=1000-a$ ima zadnju ili zadnje dvije znamenke $0$.

Brojeva oblika $x0$ i $x00$ ima ukupno $18$.

Brojeva oblika $xy0$ ima $9\cdot9=81$, kao i brojeva oblika $x0y$. Ukupno takvih brojeva ima $81+81=162$.

Još treba prebrojiti koliko brojeva $a$ u svojemu dekadskom zapisu nema znamenku $0$, a broj $b=1000-a$ ima. To je moguće samo ako je broj $b$ oblika $x0y$, odnosno, ako je broj $a$ oblika $9y$ ili $x9y$, $y\neq0$, $x\neq0,9$. Takvih brojeva $a$ ima ukupno $9+8\cdot9=81$.

Dakle, brojeva $a$ koji u svojemu dekadskom zapisu imaju barem jednu znamenku $0$ ili za koje broj $b=1000-a$ ima u svojem zapisu znamenku $0$ ima ukupno $18+162+81=261$.

Tada je $999-261=738$ broj svih uređenih parova prirodnih brojeva $(a,b)$ za koje je $a+b=1000$ i koji u svojemu dekadskom zapisu nemaju znamenku $0$.