2. Zadatak

Prvo rješenje.

Sređivanjem nazivnika dobiva se:

$$\begin{aligned} 4x^2+9y^2+4x+12y+9 &=4x^2+4x+1+9y^2+12y+4+4\\ &=(2x+1)^2+(3y+2)^2+4. \end{aligned}$$

Sređivanjem brojnika dobiva se:

$$\begin{aligned} 12x^2+27y^2+12x+36y+29 &=12x^2+12x+3+27y^2+36y+12+14\\ &=3(4x^2+4x+1)+3(9y^2+12y+4)+14\\ &=3(2x+1)^2+3(3y+2)^2+12+2\\ &=3\big[(2x+1)^2+(3y+2)^2+4\big]+2. \end{aligned}$$

Slijedi:

$$\begin{aligned} \left(\frac{12x^2+27y^2+12x+36y+29}{4x^2+9y^2+4x+12y+9}\right)^2 &=\left(\frac{3[(2x+1)^2+(3y+2)^2+4]+2}{(2x+1)^2+(3y+2)^2+4}\right)^2\\ &=\left(3+\frac2{(2x+1)^2+(3y+2)^2+4}\right)^2. \end{aligned}$$

Kako je $(2x+1)^2\geq0$ i $(3y+2)^2\geq0$, za svaki $x$ i $y$ vrijedi:

$$(2x+1)^2+(3y+2)^2+4\geq4,$$

odnosno,

$$\frac2{(2x+1)^2+(3y+2)^2+4}\leq\frac12.$$

Tada je

$$3+\frac2{(2x+1)^2+(3y+2)^2+4}\leq3+\frac12.$$

Obje su strane nejednakosti pozitivne pa vrijedi:

$$\left(3+\frac2{(2x+1)^2+(3y+2)^2+4}\right)^2\leq\left(3+\frac12\right)^2=\frac{49}4.$$

Najveća moguća vrijednost koju zadani izraz može postići iznosi $\frac{49}4$.

Jednakost se postiže za $(2x+1)^2+(3y+2)^2=0$, a u tom su slučaju $x=-\frac12$ i $y=-\frac23$.

Drugo rješenje.

$$\left(\frac{12x^2+27y^2+12x+36y+29}{4x^2+9y^2+4x+12y+9}\right)^2 =\left(\frac{3(4x^2+9y^2+4x+12y+9)+2}{4x^2+9y^2+4x+12y+9}\right)^2.$$

Uvedimo novu nepoznanicu: $t=4x^2+9y^2+4x+12y+9$.

Traženi izraz sada zapisujemo u obliku

$$\left(\frac{3t+2}{t}\right)^2=\left(3+\frac2t\right)^2.$$

Uočimo da je:

$$\begin{aligned} t&=(4x^2+4x+1)+(9y^2+12y+4)+4\\ &=(2x+1)^2+(3y+2)^2+4. \end{aligned}$$

Budući da su $(2x+1)^2$ i $(3y+2)^2$ uvijek pozitivni ili jednaki $0$, vrijedi $t\geq0+0+4$, odnosno, $t\geq4$.

Tada je $\frac1t\leq\frac14$ i $\frac2t\leq\frac12$ pa je $3+\frac2t\leq3+\frac12=\frac72$.

Konačno, $\left(3+\frac2t\right)^2\leq\frac{49}4$ pa maksimalna vrijednost danoga izraza iznosi $\frac{49}4$.

Postiže se za najmanju vrijednost varijable $t$, a to je za $2x+1=0$ i $3y+2=0$, odnosno, za $x=-\frac12$ i $y=-\frac23$.