4. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz pravokutnog trokuta $ABC$ slijedi

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2+|BC|^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25.$$

Iz pravokutnog trokuta $ACD$ slijedi

$$|AD|=\sqrt{|AC|^2-|CD|^2}=7.$$

Kako je

$$|BD|^2=|AD|^2+|AB|^2-2|AD||AB|\cos(\varphi+\psi),$$

potrebno je izračunati $\cos(\varphi+\psi)$. Vrijedi

$$\cos\varphi=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac35\Longrightarrow\sin\varphi=\frac45,$$ $$\sin\psi=\frac{|CD|}{|AC|}=\frac{24}{25}\Longrightarrow\cos\psi=\frac7{25}.$$

Zato je

$$\cos(\varphi+\psi)=\cos\varphi\cos\psi-\sin\varphi\sin\psi=-\frac35.$$

Dakle, dobivamo

$$|BD|^2=|AD|^2+|AB|^2-2|AD||AB|\cos(\varphi+\psi)=400,$$

pa je $|BD|=20$.

Kako je $|MB|=|MD|=\frac{25}{2}$ i točka $N$ polovište dijagonale $BD$, zaključujemo da je $MN$ visina jednakokračnog trokuta $BMD$. Stoga je

$$|MN|=\sqrt{|MB|^2-|BN|^2}=\frac{15}{2}.$$

Napomena. Kako je $ABCD$ tetivni četverokut, duljina dijagonale $BD$ može se dobiti primjenom Ptolomejevog teorema. Umnožak duljina dijagonala tetivnog četverokuta jednak je zbroju umnožaka duljina nasuprotnih stranica, tj.

$$|AC|\cdot|BD|=|AB|\cdot|CD|+|AD|\cdot|BC|.$$

Dakle,

$$25\cdot|BD|=15\cdot24+20\cdot7,$$

odakle dobivamo $|BD|=20$.

Drugo rješenje.

Iz pravokutnog trokuta $ABC$ slijedi $|AC|=\sqrt{|AB|^2+|BC|^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$, a iz pravokutnog trokuta $ACD$ slijedi $|AD|=\sqrt{|AC|^2-|CD|^2}=7$.

Neka je $\alpha=\angle BCD$. Tada je $180^\circ-\alpha=\angle DAB$ jer je $ABCD$ tetivni četverokut. Kut $NMD$ jednak je manjem obodnom kutu nad tetivom $BD$, odnosno $\angle NMD=\alpha$.

Iz pravokutnog trokuta $DNM$ slijedi

$$\cos\alpha=\frac{|MN|}{R},$$

odnosno $|MN|=R\cos\alpha$.

Primijenimo poučak o kosinusu na trokute $DAB$ i $BCD$ kako bismo izračunali $\cos\alpha$:

$$\begin{aligned} |BD|^2&=|AD|^2+|AB|^2-2|AD||AB|\cos(180^\circ-\alpha),\\ |BD|^2&=|BC|^2+|CD|^2-2|BC||CD|\cos\alpha,\\ |BD|^2&=49+225+2\cdot7\cdot15\cos\alpha,\\ |BD|^2&=400+576-2\cdot20\cdot24\cos\alpha. \end{aligned}$$

Nakon oduzimanja zadnje dvije jednakosti i sređivanja dobivamo $\cos\alpha=0.6$.

Tada je

$$|MN|=R\cos\alpha=\frac{25}{2}\cdot0.6=7.5.$$