1. Zadatak

Iz

$$\frac{2x+60}{x+5}>0$$

dobivamo da je $x\in\langle-\infty,-30\rangle\cup\langle-5,+\infty\rangle$.

Imamo tri mogućnosti:

$$\log_3\frac{2x+60}{x+5}=0, \qquad \log_3\frac{2x+60}{x+5}=n, \qquad \log_3\frac{2x+60}{x+5}=-n, \quad n\in\mathbb N.$$

Provjerimo postoji li cijeli broj $x$ takav da je $\log_3\frac{2x+60}{x+5}=0$.

$$\frac{2x+60}{x+5}=1\Longrightarrow x=-55.$$

Neka je $\log_3\frac{2x+60}{x+5}=n$, gdje je $n$ prirodan broj. Tada je

$$\frac{2x+60}{x+5}=3^n.$$

Vrijedi

$$\frac{2x+60}{x+5}=\frac{2(x+5)+50}{x+5}=2+\frac{50}{x+5},$$

pa je

$$\frac{50}{x+5}=3^n-2.$$

Budući da je $3^n-2$ neparan broj, zbog djeljivosti slijedi $x+5\in\{2,10,50\}$, odnosno $x\in\{-3,5,45\}$. Uvrštavanjem se provjeri da su rješenja $x=-3$ i $x=45$.

Neka je sada $\log_3\frac{2x+60}{x+5}=-n$, gdje je $n$ prirodan broj. Tada je

$$\frac{2x+60}{x+5}=3^{-n}\Longleftrightarrow\frac{x+5}{2x+60}=3^n\Longleftrightarrow\frac{x+5}{x+30}=2\cdot3^n.$$

Zato je

$$\frac{x+30-25}{x+30}=2\cdot3^n\Longleftrightarrow1-\frac{25}{x+30}=2\cdot3^n.$$

Kako je na desnoj strani paran cijeli broj, na lijevoj strani mora biti $x+30\in\{-1,-5,-25\}$, odnosno $x\in\{-31,-35,-55\}$. Uvrštavanjem se provjeri da su rješenja $x=-35$ i $x=-55$.

Stoga su traženi cijeli brojevi $x$ jednaki

$$-55,\ -35,\ -3\ \text{i}\ 45.$$