2. Zadatak

Neka je kut nasuprot stranici duljine $c$ jednak $\gamma$.

Podijelimo li jednakost $\sqrt3(b^2+a^2-c^2)=2ab-4P$ s $2ab$, dobivamo

$$\frac{\sqrt3(b^2+a^2-c^2)}{2ab}=1-\frac{2P}{ab},$$

odnosno

$$\sqrt3\cos\gamma=1-\frac{2P}{ab}.$$

Kako je $P=\frac12ab\sin\gamma$, iz prethodne jednakosti dobivamo trigonometrijsku jednadžbu

$$\sqrt3\cos\gamma=1-\sin\gamma,$$

koju rješavamo svođenjem na adicijske formule:

$$\begin{aligned} \sqrt3\cos\gamma+\sin\gamma&=1,\\ \frac{\sqrt3}{2}\cos\gamma+\frac12\sin\gamma&=\frac12,\\ \cos\gamma\cos30^\circ+\sin\gamma\sin30^\circ&=\frac12,\\ \cos(\gamma-30^\circ)&=\frac12. \end{aligned}$$

Iz $\cos(\gamma-30^\circ)=\frac12$ slijedi $\gamma-30^\circ=60^\circ$, odnosno $\gamma=90^\circ$.

Napomena. Jednadžba $\sqrt3\cos\gamma+\sin\gamma=1$ može se riješiti i univerzalnom supstitucijom. Uvođenjem supstitucije $\operatorname{tg}\frac\gamma2=t$ jednadžba prelazi u

$$\sqrt3\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}=1,$$

odnosno

$$(1+\sqrt3)t^2-2t+1-\sqrt3=0,$$

a rješenja su $t_1=\sqrt3-2$ i $t_2=1$.

Budući da je $0^\circ<\gamma<180^\circ$, vrijedi $0^\circ<\frac\gamma2<90^\circ$ i $\operatorname{tg}\frac\gamma2>0$. Zato rješenje $\operatorname{tg}\frac\gamma2=\sqrt3-2<0$ odbacujemo. Iz $\operatorname{tg}\frac\gamma2=1$ slijedi $\gamma=90^\circ$.