5. Zadatak
Mate i Roko su, pripremajući se za natjecanje, postavljali jedan drugome ”nerješive” zadatke. Tako je Roko pitao Matu: Znaš li koliko iznosi zbroj znamenaka broja ?
Na to je Mate odgovorio novim pitanjem:
Ne znam, a znaš li ti koji je broj 2018. po redu ako nastaviš niz u kojem je prvi broj , drugi broj zbroj njegovih znamenaka, treći broj zbroj znamenaka drugog broja i tako dalje? Svaki je sljedeći broj u tom nizu jednak zbroju znamenaka prethodnog broja!
Pokažite da je Matino pitanje rješivo i odredite 2018. broj u tom nizu.
Rješenje
Označimo redom s prvi, drugi, treći, …, 2018-ti član danog niza brojeva.
Uočimo da je
Kako je prvi član niza djeljiv s , njegov je zbroj znamenaka djeljiv s . Zato je i broj djeljiv s , a tada i svi ostali članovi niza.
Kako je
prvi član niza ne može imati više od znamenaka, a svaka je najviše . Zato je
Dakle drugi član niza ima najviše 4 znamenke pa je treći član niza najviše .
Kako je treći član niza djeljiv s , on može biti samo ili . U svakom slučaju zbroj njegovih znamenaka je , pa je svaki sljedeći član danog niza jednak .
Dakle, 2018. član niza jednak je .