5. Zadatak

Primjenom svojstava periodičnosti funkcija sinus i kosinus i formula redukcije imamo sljedeći niz jednakosti:

$$z=-\sin\frac{2022\pi}{5}-i\cos\frac{2023\pi}{5},$$ $$z=-\sin\left(404\pi+\frac{2\pi}{5}\right) -i\cos\left(404\pi+\frac{3\pi}{5}\right),$$ $$z=-\sin\frac{2\pi}{5}-i\cos\frac{3\pi}{5},$$ $$z=-\cos\left(\frac\pi2-\frac{2\pi}{5}\right) -i\sin\left(\frac\pi2-\frac{3\pi}{5}\right),$$ $$z=-\cos\frac\pi{10}-i\sin\frac{-\pi}{10}.$$

Nadalje, korištenjem svojstva neparnosti funkcije sinus zaključujemo da je

$$z=-\cos\frac\pi{10}+i\sin\frac\pi{10},$$

a kako je $\sin\frac\pi{10}=\sin\frac{9\pi}{10}$ i $\cos\frac\pi{10}=-\cos\frac{9\pi}{10}$ konačno dobivamo

$$z=\cos\frac{9\pi}{10}+i\sin\frac{9\pi}{10}.$$

Stoga je

$$z^{10}=\cos9\pi+i\sin9\pi =\cos\pi+i\sin\pi=-1.$$