6. Zadatak

Iz činjenice da je zbroj binomnih koeficijenata posljednja tri člana jednak $22$ dobivamo jednadžbu

$$\binom m{m-2}+\binom m{m-1}+\binom mm=22,$$

odakle primjenom svojstva simetrije binomnih koeficijenata zaključujemo da vrijedi

$$\binom m2+\binom m1+\binom m0=22.$$

Nadalje, iz definicije binomnih koeficijenata dobivamo jednadžbu $\frac{m(m-1)}2+m+1=22$, što se pojednostavljuje do $m^2+m-42=0$.

Rješenja ove jednadžbe su $m_1=6$, $m_2=-7$. Iz definicije binomnih koeficijenata slijedi da je $m\ge2$, te stoga zaključujemo da je $m=6$.

Iz

$$\left(\sqrt{2^x}+\frac1{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^m =\sum_{k=0}^m\binom mk \left(\sqrt{2^x}\right)^{m-k} \left(\frac1{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^k$$

i činjenice da je zbroj trećeg i petog člana manji ili jednak $135$ dobivamo sljedeću nejednadžbu

$$\binom62\left(\sqrt{2^x}\right)^4 \left(\frac1{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^2 +\binom64\left(\sqrt{2^x}\right)^2 \left(\frac1{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^4\le135.$$

Rješavanjem ove jednadžbe redom dobivamo:

$$15\cdot2^{x+1}+\frac{15}{2^{x-2}}\le135,$$ $$2^{x+1}+\frac1{2^{x-2}}\le9,$$ $$2\cdot2^{2x}-9\cdot2^x+4\le0.$$

Uz zamjenu $2^x=t$ dobivamo kvadratnu nejednadžbu $2t^2-9t+4\le0$ čije je rješenje $t\in\left[\frac12,4\right]$.

Konačno iz $\frac12\le2^x\le4$ dobivamo $x\in[-1,2]$.