7. Zadatak

Prvo rješenje.

Brojevi s opisanim svojstvima su neparni pa je zadnja znamenka $3$.

Kako na prvom mjestu ne može biti $0$, imamo sljedeće dvije mogućnosti.

Prvi slučaj:

Na prvom mjestu je znamenka $2$, a na zadnjem $3$. Na preostalih $5$ mjesta znamenke $0$, $2$ i $3$ možemo rasporediti na ukupno $3^5$ načina.

Zbog danih uvjeta od toga ćemo broja oduzeti ukupan broj svih brojeva koji ne sadrže znamenku $0$, a sadrže $2$ ili $3$. Takvih je brojeva $2^5$.

Dakle, imamo $3^5-2^5=211$ različitih brojeva s danim svojstvima i prvom znamenkom $2$.

Drugi slučaj:

I na prvom i na zadnjem je mjestu znamenka $3$. Na preostalih $5$ mjesta znamenke $0$, $2$ i $3$ možemo rasporediti na ukupno $3^5$ načina.

Zbog danih uvjeta, od toga ćemo broja oduzeti ukupan broj svih brojeva koji ne sadrže bar jednu od znamenki $0$ i $2$.

Brojeva koji ne sadrže $0$, a sadrže znamenke $2$ ili $3$ ima $2^5$.

Brojeva koji ne sadrže znamenku $2$, a sadrže $0$ ili $3$ ima također $2^5$.

Ako te brojeve oduzmemo od $3^5$, dvaput smo oduzeli broj sa $7$ trojki pa ukupnom broju treba dodati broj $1$.

Dakle, imamo $3^5-2\cdot2^5+1=243-64+1=180$ različitih brojeva s danim svojstvima i prvom znamenkom $3$.

Konačno, ukupan broj brojeva s danim svojstvima je

$$3^5-2^5+3^5-2\cdot2^5+1=2\cdot3^5-3\cdot2^5+1=211+180=391.$$

Drugo rješenje.

Brojevi s opisanim svojstvima su neparni pa je zadnja znamenka $3$.

Dakle, kako je znamenka $3$ upotrijebljena, bez smanjenja općenitosti možemo tražiti koliko ima šesteroznamenkastih brojeva koji se sastoje od znamenki $0$, $2$ i $3$ te koji sadrže barem jednu dvojku i barem jednu nulu.

Broj šesteroznamenkastih brojeva koji se sastoje od znamenki $0$, $2$ i $3$ jednak je $2\cdot3^5$.

Broj šesteroznamenkastih brojeva koji se sastoje samo od znamenki $2$ i $3$ jednak je $2^6$.

Broj šesteroznamenkastih brojeva koji se sastoje samo od znamenki $3$ i $0$ jednak je $2^5$.

Oduzmemo li od broja svih šesteroznamenkastih brojeva koji se sastoje od znamenki $0$, $2$ i $3$ broj svih onih među njima koji sadrže samo znamenke $2$ i $3$ i broj svih onih koji sadrže samo znamenke $3$ i $0$ dva puta smo oduzeli šesteroznamenkasti broj koji sadrži sve trojke.

Dakle, konačno rješenje je $2\cdot3^5-2^6-2^5+1=2\cdot3^5-3\cdot2^5+1=391$ broj.

Treće rješenje.

Kao i u prvom rješenju razdvojimo prebrojavanje na slučaj kada imamo na početku znamenku $2$, a na kraju $3$ te slučaj kada su i na početku i na kraju znamenka $3$.

Ako je na početku znamenka $2$, a na kraju znamenka $3$, tada za preostalih pet znamenki imamo sljedeće mogućnosti:

• jedna znamenka $0$, četiri su znamenke $2$ ili $3$;
• dvije znamenke $0$, tri su znamenke $2$ ili $3$;
• tri znamenke $0$, dvije su znamenke $2$ ili $3$;
• četiri znamenke $0$, jedna je znamenka $2$ ili $3$;
• pet znamenki $0$.

Mjesto za jednu nulu možemo odabrati na $\binom51=5$ načina, za dvije nule na $\binom52=10$ načina, za tri nule na $\binom53=10$ načina, za četiri nule na $\binom54=5$ načina i svih pet nula na $1$ način.

U svakom od navedenih slučajeva za svaku od preostalih znamenki imamo dvije mogućnosti $2$ ili $3$. Stoga je ukupan broj brojeva s danim svojstvima, a koji na početku imaju znamenku $2$, a na kraju $3$, jednak

$$5\cdot2^4+\binom52\cdot2^3+\binom53\cdot2^2+\binom54\cdot2^1+1=211.$$

Ako je na početku i na kraju znamenka $3$, tada za preostalih pet znamenki imamo sljedeće mogućnosti:

• jedna znamenka $0$, jedna znamenka $2$ i tri znamenke $3$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{3!}=20$;
• jedna znamenka $0$, dvije znamenke $2$ i dvije znamenke $3$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{2!\cdot2!}=30$;
• jedna znamenka $0$, tri znamenke $2$ i jedna znamenka $3$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{3!}=20$;
• jedna znamenka $0$ i četiri znamenke $2$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{4!}=5$;
• dvije znamenke $0$, jedna znamenka $2$ i dvije znamenke $3$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{2!\cdot2!}=30$;
• dvije znamenke $0$, dvije znamenke $2$ i jedna znamenka $3$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{2!\cdot2!}=30$;
• dvije znamenke $0$ i tri znamenke $2$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{2!\cdot3!}=10$;
• tri znamenke $0$, jedna znamenka $2$ i jedna znamenka $3$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{3!}=20$;
• tri znamenke $0$ i dvije znamenke $2$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{2!\cdot3!}=10$;
• četiri znamenke $0$ i jedna znamenka $2$, a broj njihovih razmještaja iznosi $\frac{5!}{4!}=5$.

Stoga je ukupan broj brojeva s danim svojstvima, a koji na početku i na kraju imaju znamenku $3$ jednak

$$20+30+20+5+30+30+10+20+10+5=180.$$

Konačno, ukupan broj svih brojeva s danim svojstvima jest $211+180=391$.