2. Zadatak

Kompleksni broj $\frac{z+w}{z-w}$ je imaginaran ako i samo ako je njegov realni dio jednak nula.

Odredimo stoga $\operatorname{Re}\left(\frac{z+w}{z-w}\right)$.

$$\begin{aligned} \frac{z+w}{z-w} &=\frac{x+2i+3+yi}{x+2i-3-yi}\\ &=\frac{x+3+(2+y)i}{x-3+(2-y)i}\cdot \frac{x-3-(2-y)i}{x-3-(2-y)i}\\ &=\frac{(x^2-3^2)+(2^2-y^2)+i((x-3)(2+y)-(x+3)(2-y))} {(x-3)^2+(2-y)^2}. \end{aligned}$$

Tada je

$$\operatorname{Re}\left(\frac{z+w}{z-w}\right) =\frac{x^2-y^2-5}{(x-3)^2+(2-y)^2}.$$

Ovaj je izraz jednak nula ako i samo ako je brojnik jednak nula, odnosno $x^2-y^2-5=0$.

Odatle je $x^2=y^2+5$, a najmanji pozitivan $x$ dobijemo za $y=0$ i on iznosi

$$x=\sqrt{y^2+5}=\sqrt5.$$