5. Zadatak

Promotrimo trokut $DEF$, gdje su $D$, $E$, $F$ međusobna dirališta danih kružnica. Simetrale kutova trokuta $ABC$ su ujedno i simetrale stranica trokuta $DEF$ (jer su trokuti $ADF$, $BDE$, $CEF$ jednakokračni), pa je kružnica kroz točke $D$, $E$ i $F$ kružnica opisana trokutu $DEF$, a upisana trokutu $ABC$. Označimo je s $k$, a njezino središte sa $S$. Zaključujemo da su točke $D$, $E$ i $F$ dirališta kružnice $k$ i stranica trokuta $ABC$, tj. da su stranice trokuta $ABC$ tangente kružnice $k$. Tada su zajedničke tangente danih kružnica (sa središtima u $A$, $B$ i $C$) u točkama $D$, $E$, $F$ istovremeno normale na kružnicu $k$. Kako normala kružnice prolazi njezinim središtem, tvrdnja je dokazana, odnosno sve tri zajedničke tangente sijeku se u središtu upisane kružnice trokuta $ABC$.

Za polumjere danih kružnica vrijedi:

$$\begin{aligned} r_1+r_2&=8\\ r_2+r_3&=13\\ r_1+r_3&=9. \end{aligned}$$

Rješenje ovog sustava je

$$r_1=2\ \text{cm},\qquad r_2=6\ \text{cm},\qquad r_3=7\ \text{cm}.$$ $$s=\frac{a+b+c}{2}=15,$$ $$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=6\sqrt{35}\ \text{cm}^2,$$ $$r=\frac Ps=\frac{2\sqrt{35}}{5}\ \text{cm}.$$

Tražena je udaljenost

$$|SA|=\sqrt{r_3^2+r^2}=\sqrt{7^2+\left(\frac{2\sqrt{35}}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{273}{5}}\ \text{cm}.$$