2. Zadatak

Rotacijom oko pravca $AB$ nastaje rotacijsko tijelo koje se sastoji od stošca i valjka kojem taj isti stožac nedostaje iznutra. Obujam tog tijela je

$$V_1=V_{\text{stošca}}+V_{\text{valjka}}-V_{\text{stošca}}=V_{\text{valjka}}$$ $$V_1=r^2\pi v,\qquad r_{\text{valjka}}=v_{\text{romba}}=a\sin\alpha,\qquad v_{\text{valjka}}=a.$$

Slijedi

$$V_1=a^3\pi\sin^2\alpha.$$

Ako romb rotira oko pravca $AC$ nastaje rotacijsko tijelo koje se sastoji od dva jednaka stošca, a njegov je obujam

$$V_2=2V_{\text{stošca}}=\frac23r^2\pi v.$$

Kako je

$$r_{\text{stošca}}=\frac e2=a\sin\frac\alpha2,\qquad v_{\text{stošca}}=\frac f2=a\cos\frac\alpha2,$$

obujam je

$$V_2=\frac23a^3\pi\sin^2\frac\alpha2\cos\frac\alpha2.$$

Iz danog omjera $V_1:V_2=9:\sqrt3$ slijedi

$$\frac{\sin^2\alpha}{\frac23\sin^2\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}=\frac9{\sqrt3}.$$ $$\frac{4\sin^2\frac\alpha2\cos^2\frac\alpha2}{\frac23\sin^2\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}=\frac9{\sqrt3}.$$

Odatle je $\cos\frac\alpha2=\frac{\sqrt3}{2}$ pa je $\frac\alpha2=\frac\pi6$, a $\alpha=\frac\pi3$.

Odredimo omjer oplošja. Oplošje prvog tijela je

$$\begin{aligned} O_1&=2\cdot P_{l\,\text{stošca}}+P_{l\,\text{valjka}}\\ &=2\cdot v_{\text{romba}}\cdot\pi\cdot a+2\cdot v_{\text{romba}}\cdot\pi\cdot a\\ &=4v_{\text{romba}}a\pi=4a\sin\alpha\cdot a\pi=4\pi a^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\pi\sqrt3a^2. \end{aligned}$$

Oplošje drugog tijela je

$$O_2=2r_{\text{stošca}}\pi a=2a\sin\frac\alpha2\pi a=a^2\pi.$$

Omjer je $O_1:O_2=2\sqrt3:1$.