3. Zadatak

Neka je duljina visine $|\overline{PC}|=h$.

Kako je $\overline{S_1M}\perp\overline{BC}$ i $\overline{S_2N}\perp\overline{BC}$, trokuti $\triangle S_2NC$, $\triangle S_1MC$ i $\triangle BPC$ imaju sukladne kuteve pa su slični.

Iz sličnosti slijede ovi omjeri: $$|PB|:|BC|=|S_1M|:|S_1C|=|S_2N|:|S_2C|$$ tj. $$\frac a2:b=R:(h-R)=r:(h-2R-r)$$ Iz $R:(h-R)=r:(h-2R-r)$ dobivamo $$h=\frac{2R^2}{R-r}.\quad(*)$$ Iz $\frac a2:b=R:(h-R)$ dobivamo $$b=\frac{a(h-R)}{2R}$$ što uz $(*)$ daje $$b=\frac{a(R+r)}{2(R-r)}.\quad(**)$$ U jednakokračnom trokutu vrijedi $b^2=h^2+\frac{a^2}4$. Zamijenimo li u toj jednakosti $b$ i $h$ sa $(*)$ i $(**)$ dobit ćemo $$\frac{a^2(R+r)^2}{4(R-r)^2}=\frac{4R^4}{(R-r)^2}+\frac{a^2}4.$$ Odatle se dobiva $$a^2=\frac{4R^3}r,\quad\text{tj. }a=2R\sqrt{\frac Rr}.$$ Nadalje, uvrstimo li dobiveni $a$ u $(**)$ slijedi $$b=\frac{R\sqrt R(R+r)}{\sqrt r(R-r)}.$$ Tada je opseg trokuta $$o=a+2b=2R\sqrt{\frac Rr}+2\frac{R\sqrt R(R+r)}{\sqrt r(R-r)}=\frac{4R^2}{R-r}\sqrt{\frac Rr}.$$