5. Zadatak

Neka su $x,y$ posljednje dvije znamenke prirodnog broja $n$ s danim svojstvom. Broj $n$ možemo zapisati kao $$n=100a+10x+y\quad\text{gdje je }a\in\mathbb N,\quad x,y\in\{0,1,2\ldots,9\}$$ Tada je $$n^2=(100a+10x+y)^2=(100a)^2+100x^2+y^2+2000ax+200ay+20xy,$$ odnosno u obliku $n^2=100b+y^2+20xy$, $b\in\mathbb N$, a kako su posljednje dvije znamenke broja $n^2$ jednake 4, izraz $y^2+20xy=\ldots44$ završava s 44.

Očito $y^2$ ima zadnju znamenku 4, pa su jedine mogućnosti $y=2$, $y=8$.

Ako je $y=2$, onda je $4+40x=\ldots44$ i neposrednom provjerom $(x\in\{0,1,2\ldots,9\})$ možemo zaključiti da je $x=1$, $x=6$. Ako je $y=8$, onda je $64+160x=\ldots44$ neposrednom provjerom $(x\in\{0,1,2\ldots,9\})$ možemo zaključiti da je $x=3$, $x=8$.

Dakle posljednje dvije znamenke broja $n$ mogu biti 12, 62, 38, 88.