2. Zadatak

Zapišimo dani izraz u obliku $$a^n(1+a^1+a^2+a^3+a^4+a^5)=2016\quad\text{ili}$$ $$a^n\left(\frac{a^6-1}{a-1}\right)=2016.$$ Očito je $a\ne1$.

Ako je $a=2$, dani izraz prelazi u $$2^n\left(\frac{2^6-1}{2-1}\right)=2016,$$ odnosno $$2^n\cdot63=2016,\quad2^n=32\quad\text{pa je}\quad n=5.$$ Ako je $a=3$, dobivamo jednadžbu $3^n\cdot364=2016$ koja nema cjelobrojnih rješenja.

Ako je $a=4$, vrijedi $4^n\cdot1365=2016$. Takav prirodan broj $n$ ne postoji.

Uočimo da je $4^n\cdot1365\ge4\cdot1365=5460>2016$, $\forall n\in\mathbb N$. Kako vrijednost izraza $$a^n\left(\frac{a^6-1}{a-1}\right)$$ raste za sve prirodne brojeve $a$ i $n$, njegova vrijednost je za sve $a\ge4$ veća od 2016 pa dana jednadžba nema rješenja.

Dakle, jedino rješenje je $a=2$, $n=5$.