4. Zadatak

U svakoj od pet košara nalazi se određeni broj kuglica. Iz prve košare prebacimo jednu petinu kuglica u drugu košaru. Zatim iz druge košare prebacimo jednu petinu kuglica u treću košaru. Nakon toga iz treće košare petinu kuglica prebacimo u četvrtu košaru. Zatim petinu kuglica iz četvrte košare prebacimo u petu košaru. Na kraju iz pete košare prebacimo petinu kuglica u prvu košaru. Sada u svakoj kutiji imamo točno 32 kuglice! Koliko je kuglica bilo u svakoj pojedinoj košari na početku?

Rješenje

Prvo rješenje.

Nakon posljednjeg prebacivanja petine kuglica, iz pete košare u prvu košaru, u petoj košari su ostale 32 kuglice. Ako je $x$ broj kuglica u petoj košari prije prebacivanja petine kuglica u prvu košaru, vrijedi $\frac45\cdot x=32.$ Tada je $x=\frac54\cdot32=40$ kuglica.

Dakle, u prvu košaru je prebačeno $\frac15x=\frac{40}5=8$ kuglica. U prvoj je košari nakon prebacivanja petine u drugu bilo $32-8=24$ kuglice,

što znači da je na početku u prvoj košari bilo $\frac54\cdot24=30$ kuglica.

Nadalje iz prve košare prebacimo petinu tj. $\frac{30}5=6$ kuglica u drugu košaru u kojoj je na početku bilo npr. $b$ kuglica. Vrijedi $\frac45\cdot(b+6)=32,$ pa je početni broj kuglica u drugoj košari 34.

Dakle u drugoj košari je, nakon prebacivanja petine iz prve, $34+6=40$ kuglica. Petinu tog broja, dakle 8 kuglica prebacujemo u treću košaru u kojoj se nalazi $c$ kuglica i vrijedi $\frac45\cdot(c+8)=32.$ Početni broj kuglica u trećoj košari je 32.

Analogno zaključujemo da su i u četvrtoj i petoj košari na početku bile $40-\frac{40}5=32$ kuglice. Dakle u košarama je bilo redom 30, 34, 32, 32, 32 kuglice.

Drugo rješenje.

Zadatak se može riješiti i postavljanjem sustava od pet jednadžbi s pet nepoznanica. Neka su $a,b,c,d,e$ redom brojevi kuglica u prvoj, drugoj,…, petoj košari. Tada je iz uvjeta zadatka $\frac45\left(\frac15a+b\right)=32$ $\frac45\left[\frac15\left(\frac15a+b\right)+c\right]=32$ $\frac45\left[\frac15\left(\frac15\left(\frac15a+b\right)+c\right)+d\right]=32$ $\frac45\left[\frac15\left(\frac15\left(\frac15\left(\frac15a+b\right)+c\right)+d\right)+e\right]=32$ $\frac45\left[\frac15\left(\frac15\left(\frac15\left(\frac15a+b\right)+c\right)+d\right)+e\right]+\frac45a=32$ Riješimo li sustav, dobivamo $a=30$ , $b=34$ , $c=32$ , $d=32$ i $e=32$ .