2. Zadatak

Primijetimo da je

$$\left(2+\sqrt3\right)\cdot\left(2-\sqrt3\right)=4-3=1,$$

odnosno

$$2-\sqrt3=\frac{1}{2+\sqrt3}.$$

Stoga zadanu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$\left(2+\sqrt3\right)^{\cos x}+\frac{1}{\left(2+\sqrt3\right)^{\cos x}}=4.$$

Supstitucijom $t=\left(2+\sqrt3\right)^{\cos x}$ jednadžba prelazi u kvadratnu jednadžbu

$$t^2-4t+1=0.$$

Njezina su rješenja $t_{1,2}=2\pm\sqrt3$.

U prvom slučaju je

$$\left(2+\sqrt3\right)^{\cos x}=2+\sqrt3$$

pa je

$$\cos x=1,$$

odnosno $x=2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

U drugom je slučaju

$$\left(2+\sqrt3\right)^{\cos x}=2-\sqrt3$$

pa je

$$\cos x=-1,$$

odnosno $x=(2k-1)\pi$, $k\in\mathbb Z$.

Uočimo da su sva rješenja polazne jednadžbe oblika $x=k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

Na intervalu $\langle-3\pi,3\pi]$ rješenja su $-2\pi$, $-\pi$, $0$, $\pi$, $2\pi$, $3\pi$.

Njihov zbroj iznosi $3\pi$.