4. Zadatak

Skicirajmo bazu prizme, pravilini šesterokut $ABCDEF$ i označimo točke $P$ i $R$.

Označimo duljinu osnovnog brida prizme $|AB|=a$ i sa $h$ duljinu visine prizme i piramide. Tada je površina baze prizme

$$B=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac32a^2\sqrt3.$$

Površina baze piramide jednaka je površini trokuta $DRP$ i može se izračunati kao razlika površine baze prizme i zbroja površina trapeza $APRF$, četverokuta $BCDP$ i trokuta $DER$.

Četverokut $APRF$ je jednakokračan trapez (jer je $PR$ srednjica trapeza $ABEF$ i stoga je $PR\parallel AF$ i duljine $|PR|=\frac32a$) čija je visina jednaka visini jednakostraničnog trokuta duljine stranice $|AP|=\frac a2$ pa je njegova površina jednaka

$$P_{APRF}=\frac{a+|PR|}{2}\cdot\frac{\frac a2\sqrt3}{2} =\frac{a+\frac32a}{2}\cdot\frac{a\sqrt3}{4} =\frac5{16}a^2\sqrt3.$$

Četverokut $BCDP$ može se podijeliti na jednakokračni trokut $BCD$ i pravokutni trokut $BDP$. Unutrašnji kutovi jednakokračnog trokuta $BCD$ su $120^\circ$, $30^\circ$ i $30^\circ$, pa je njegova površina jednaka površini jednakostraničnog trokuta čija je stranica duljine $a$, tj.

$$P_{BCD}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Površina pravokutnog trokuta $BDP$ jednaka je

$$P_{BDP}=\frac{\frac a2\cdot a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Stoga je površina

$$P_{BCDP}=P_{BCD}+P_{BDP}=\frac{a^2\sqrt3}{2}.$$

Površina trokuta $DER$ jednaka je

$$P_{DER}=\frac{\frac a2\cdot a\cdot\sin120^\circ}{2} =\frac{a^2\frac{\sqrt3}{2}}{4} =\frac{a^2\sqrt3}{8}.$$

Konačno, površina baze piramide, odnosno površina trokuta $DRP$ jednaka je

$$\begin{aligned} P_{DRP} &=B-(P_{APRF}+P_{BCDP}+P_{DER})\\ &=\frac32a^2\sqrt3-\left(\frac5{16}a^2\sqrt3+\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{a^2\sqrt3}{8}\right)\\ &=\frac9{16}a^2\sqrt3. \end{aligned}$$

Obujam piramide $DRPE'$ jednak je

$$V_{\text{piramida}}=\frac13\cdot P_{DRP}\cdot h=\frac3{16}a^2\sqrt3h.$$

Obujam prizme jednak je

$$V_{\text{prizma}}=B\cdot h=\frac32a^2\sqrt3h.$$

Traženi omjer obujma piramide i prizme jest

$$\frac{V_{\text{piramida}}}{V_{\text{prizma}}} =\frac{\frac3{16}a^2\sqrt3h}{\frac32a^2\sqrt3h} =\frac18.$$