5. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvedimo oznake:

$$\begin{aligned} m&=\text{broj kupljenih videoigara za igraću konzolu 1}\\ n&=\text{broj kupljenih videoigara za igraću konzolu 2}\\ c&=\text{cijena po kojoj su se prodavale videoigre za igraću konzolu 1}\\ c-6&=\text{cijena po kojoj su se prodavale videoigre za igraću konzolu 2} \end{aligned}$$

Prema uvjetima u zadatku vrijedi da je $m,n\in\mathbb N_0$, $m<n$ i $c\in\mathbb N$, $c>6$.

Ukupan broj kupljenih videoigara kao i cijena koja je za njih plaćena modelira se sustavom jednadžbi

$$\begin{aligned} m+n&=42 \qquad (1)\\ m\cdot c+n\cdot(c-6)&=972. \qquad (2) \end{aligned}$$

Iz jednadžbe $(2)$ redom slijedi:

$$\begin{aligned} mc+nc-6n&=972\\ (m+n)c-6n&=972\\ 42c-6n&=972\qquad /:6\\ 7c-n&=162,\qquad\text{odnosno}\qquad 7c=162+n. \end{aligned}$$

Zaključujemo da $162+n$ mora biti višekratnik broja $7$.

Budući da je $m<n$ i $42=m+n<2n$ slijedi da je $n>21$, odnosno $22\leq n\leq42$.

Sada se lako provjeri da je $162+n$ višekratnik broja $7$ jedino za brojeve $n\in\{27,34,41\}$.

Iz sustava jednadžbi $(1)$ i $(2)$ imamo sljedeće mogućnosti:

$$\begin{aligned} \text{za }n=27&\Rightarrow m=15\Rightarrow c=27,\\ \text{za }n=34&\Rightarrow m=8\Rightarrow c=28,\\ \text{za }n=41&\Rightarrow m=1\Rightarrow c=29. \end{aligned}$$

Dakle, Martin je za igraću konzolu $1$ kupio ili $15$ videoigara po cijeni $27$ € za komad ili $8$ videoigara po cijeni od $28$€ za komad ili samo $1$ videoigru po cijeni $29$ € za komad.

Drugo rješenje.

Uvodimo iste oznake kao i u prvom rješenju postavljajući identične uvjete $m,n\in\mathbb N_0$, $m<n$ i $c\in\mathbb N$, $c>6$.

Također kao i u prvom rješenju matematički model je sustav jednadžbi

$$\begin{aligned} m+n&=42 \qquad (3)\\ m\cdot c+n\cdot(c-6)&=972. \qquad (4) \end{aligned}$$

Sređivanjem jednadžbe $(4)$ redom slijedi

$$\begin{aligned} m\cdot c+(42-m)\cdot(c-6)&=972\\ mc+42c-252-mc+6m&=972\\ 42c+6m&=1224\qquad /:6\\ 7c+m&=204\qquad\text{odnosno}\qquad 7c=204-m. \end{aligned}$$

Zaključujemo $204-m$ mora biti višekratnik broja $7$.

Budući da je $m<n$ i $42=m+n>2m$ slijedi da je $m<21$, odnosno $0\leq m\leq20$.

Sada se lako provjeri da je $204-m$ višekratnik broja $7$ jedino za brojeve $m\in\{1,8,15\}$.

Iz sustava jednadžbi $(3)$ i $(4)$ imamo sljedeće mogućnosti:

$$\begin{aligned} \text{za }m=15&\Rightarrow c=27,\\ \text{za }m=8&\Rightarrow c=28,\\ \text{za }m=1&\Rightarrow c=29. \end{aligned}$$

Dakle, Martin je za igraću konzolu $1$ kupio ili $15$ videoigara po cijeni $27$ € za komad ili $8$ videoigara po cijeni od $28$€ za komad ili samo $1$ videoigru po cijeni $29$ € za komad.

Treće rješenje.

Uvodimo iste oznake kao i u prvom rješenju postavljajući identične uvjete $m,n\in\mathbb N_0$, $m<n$ i $c\in\mathbb N$, $c>6$.

Također kao i u prvom rješenju matematički model je sustav jednadžbi

$$\begin{aligned} m+n&=42 \qquad (5)\\ m\cdot c+n\cdot(c-6)&=972. \qquad (6) \end{aligned}$$

Riješimo li ovaj sustav jednadžbi po nepoznanicama $m$ i $n$ dobit ćemo

$$m=-7c+204\qquad\text{i}\qquad n=7c-162. \tag{7}$$

Prema uvjetu u zadatku $m\geq0$ pa je

$$-7c+204\geq0,$$

odakle slijedi da je $c\leq29$.

Iz uvjeta da je $m<n$ slijedi da je

$$-7c+204<7c-162,$$

odnosno $c\geq27$.

Dakle, $c\in\{27,28,29\}$.

Tada iz $(7)$ slijedi

$$\begin{aligned} \text{za }c=27&\Rightarrow m=15,\\ \text{za }c=28&\Rightarrow m=8,\\ \text{za }c=29&\Rightarrow m=1. \end{aligned}$$

Dakle, Martin je za igraću konzolu $1$ kupio ili $15$ videoigara po cijeni $27$ € za komad ili $8$ videoigara po cijeni od $28$ € za komad ili samo $1$ videoigru po cijeni $29$ € za komad.