6. Zadatak

Prvo rješenje. Neka su $a$ i $b$ katete jednog te $m$ i $n$ katete drugog trokuta, a $c$ njihova zajednička hipotenuza. Iz uvjeta zadatka imamo:

$$\begin{gathered}a^2+b^2=c^2,\quad m^2+n^2=c^2,\\a-b=9,\quad m-n=13,\\\frac12ab+\frac12mn=90.\end{gathered}$$

Dobijemo sustav jednadžbi:

$$\begin{aligned}a-b&=9,\qquad(1)\\m-n&=13,\qquad(2)\\ab+mn&=180,\qquad(3)\\a^2+b^2&=m^2+n^2.\qquad(4)\end{aligned}$$

Iz prve i druge jednadžbe imamo

$$a=b+9,\quad m=13+n,$$

Iz $(4)+2\cdot(3)$ dobivamo

$$\begin{aligned}(a+b)^2-(m-n)^2&=360,\\(9+2b)^2-13^2&=360,\\b^2+9b-112&=0.\end{aligned}$$

Zadovoljava samo pozitivno rješenje $b=7$. Iz (1) je $a=16$. Duljine kateta prvog trokuta su 16 cm i 7 cm.

Za drugi trokut imamo:

$$\begin{aligned}m-n&=13\\mn&=180-ab=68\\n(13+n)&=68\\n^2+13n-68&=0.\end{aligned}$$

Zadovoljava samo pozitivno rješenje $n=4$. Sada je $m=17$. Duljine kateta drugog trokuta su 17 cm i 4 cm.

Drugo rješenje. Iz uvjeta zadatka dobivamo ove jednadžbe:

$$\begin{aligned}a^2+b^2&=c^2\qquad(1)\\a-b&=9\qquad(2)\\m^2+n^2&=c^2\qquad(3)\\m-n&=13\qquad(4)\\\frac12ab+\frac12mn&=90\implies\\2ab+2mn&=360\qquad(5)\end{aligned}$$

Iz (1) i (3) imamo

$$a^2+b^2=m^2+n^2.\tag{6}$$

Zbrajanjem (5) i (6) i sređivanjem dobivamo

$$(a+b)^2=(m-n)^2+360\quad\text{tj.}\quad(a+b)^2=13^2+360=529.$$

Konačno je

$$a+b=23.\tag{7}$$

Iz (2) i (7) imamo $a=16$, $b=7$.

Zbrajanjem $a^2+b^2=m^2+n^2$ i $360=2ab+2mn$ dobivamo

$$(a-b)^2+360=(m+n)^2\quad\text{tj.}\quad(m+n)^2=9^2+360=441$$

i zatim

$$m+n=21.\tag{8}$$

Iz (4) i (8) slijedi $m=17$ i $n=4$.