4. Zadatak

Prvo rješenje. Kako je diskriminanta kvadratne jednadžbe $x^2+3x+5=0$, $D=3^2-4\cdot1\cdot5=-11<0$ ili se pokaže da vrijedi $x^2+3x+5=\left(x+\dfrac32\right)+\dfrac{11}4>0$, nazivnik je strogo pozitivan za svaki $x$.

Množenjem nejednakosti s $x^2+3x+5$ dobivamo

$$x^2+3x-5<x^2+3x+5\quad\text{tj.}\quad-5<5.$$

Kako je ova nejednakost istinita i polazna vrijedi za svaki $x\in\mathbb R$.

Drugo rješenje. Redom imamo:

$$\frac{x^2+3x-5}{x^2+3x+5}=1-\frac{10}{x^2+3x+5}<1 \iff\frac{10}{x^2+3x+5}>0.$$

Kako je diskriminanta kvadratne jednadžbe $x^2+3x+5=0$ negativna ili se pokaže da vrijedi $x^2+3x+5=\left(x+\dfrac32\right)+\dfrac{11}4>0$ za svaki $x\in\mathbb R$, polazna nejednakost vrijedi za svaki $x\in\mathbb R$.