7. Zadatak

Nužno je i dovoljno da diskriminanta

$$D=(2k-1)^2-4k(k-2)=4k+1$$

bude kvadrat racionalnog broja $m$ tj. $4k+1=m^2$. Odavde vidimo da mora biti neparan cijeli broj.

Kako je $m$ neparan, tj. $m=2a+1$, imamo

$$\begin{aligned}4k+1&=(2a+1)^2\\4k+1&=4a^2+4a+1\\k&=a^2+a=a(a+1)\end{aligned}$$

Dakle, broj $k$ mora biti oblika $a^2+a$, $a\in\mathbb Z$ odnosno $a(a+1)$, tj. jednak umnošku dva uzastopna cijela broja. Diskriminanta je $D=4k+1=(2a+1)^2$.