6. Zadatak

Binomni koeficijenti 5. člana i 6. člana u razvoju su redom $\binom{n}{4}$ i $\binom{n}{5}$, pa prema uvjetu zadatka vrijedi

$$\frac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{5}}=\frac{1}{404}.$$

Nakon raspisivanja binomnih koeficijenata slijedi

$$\frac{\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)}{4\cdot3\cdot2\cdot1}}{\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot(n-4)}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}=\frac{1}{404},$$

a nakon skraćivanja dobivamo

$$\frac{5}{n-4}=\frac{1}{404},$$

odnosno $n-4=2020$ pa je $n=2024$.

Tada je u razvoju binoma $\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{2024}$ opći član jednak

$$\begin{aligned} \binom{2024}{k}(\sqrt{x})^{2024-k}\left(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^k &=\binom{2024}{k}(\sqrt{x})^{2024-k}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^k\\ &=\binom{2024}{k}(-1)^k\cdot x^{\frac{2024-k}{2}}\cdot x^{-\frac{k}{3}}\\ &=\binom{2024}{k}(-1)^k\cdot x^{\frac{6072-5k}{6}}. \end{aligned}$$

Uočimo da svaki član danog razvoja sadrži potenciju $x^{\frac{6072-5k}{6}}$. Eksponent te potencije prema uvjetu zadatka mora biti prirodan broj. Dakle,

$$\frac{6072-5k}{6}\in\mathbb{N}, \quad \text{odnosno} \quad 1012-\frac{5k}{6}\in\mathbb{N}.$$

To će biti ispunjeno ako je dani izraz pozitivan i ako je $k=0$ ili prirodni višekratnik broja $6$.

Tada iz $1012-\dfrac{5k}{6}>0$ dobivamo da je $k\leq1214$.

Prirodnih višekratnika broja $6$ koji su manji od $1214$ ima, koliko iznosi kvocijent pri dijeljenju broja $1214$ sa šest, a to je $202$. Dodamo li i slučaj $k=0$, konačan broj traženih članova je $203$.