5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $S$ skup od deset zadataka za domaću zadaću. Neka je $L$ podskup skupa $S$, odnosno skup od $x$ zadataka koje je Luka riješio. Onda je $10-x$ broj zadataka koje Luka nije riješio.

Promotrimo događaj $A$ - “profesor je odabrao barem jedan zadatak iz skupa $L$”.

Tada je suprotni događaj $\overline{A}$ - “profesor nije odabrao niti jedan zadatak iz skupa $L$” ili $\overline{A}$ - “profesor je odabrao oba zadatka iz skupa $S\setminus L$.

Vjerojatnost događaja $A$ jest

$$p(A)=1-p(\overline{A})=1-\frac{\binom{10-x}{2}}{\binom{10}{2}}=1-\frac{(10-x)(10-x-1)}{10\cdot9}.$$

Kako je $p(A)>\dfrac79$, slijedi redom

$$1-\frac{(10-x)(10-x-1)}{10\cdot9}>\frac79,$$ $$90-(100-10x-10-10x+x^2+x)>70,$$ $$-x^2+19x-70>0.$$

Rješenje ove nejednadžbe je interval $\langle5,14\rangle$, pa je traženi najmanji broj zadataka koje Luka mora riješiti jednak $6$.

Drugo rješenje.

Učenik može vjerojatnost računati i kao vjerojatnost unije događaja $A\cup B$, gdje je

$A$ - “profesor treba odabrati točno jedan zadatak iz skupa $L$”,

$B$ - “profesor treba odabrati točno $2$ zadatka iz skupa $L$”.

Tada je redom

$$p(A\cup B)=\frac{\binom{10-x}{1}\binom{x}{1}+\binom{10-x}{0}\binom{x}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{(10-x)x+\frac12x(x-1)}{45}=\frac{-\frac12x^2+\frac{19}{2}x}{45}.$$

Kako je $p(A)>\dfrac79$, slijedi redom

$$\frac{-\frac12x^2+\frac{19}{2}x}{45}>\frac79,$$ $$-\frac12x^2+\frac{19}{2}x>35,$$ $$x^2-19x+70<0.$$

Rješenje ove nejednadžbe je interval $\langle5,14\rangle$, pa je traženi najmanji broj zadataka koje Luka mora riješiti jednak $6$.