7. Zadatak

Iz formule za obujam piramide slijedi

$$V=\frac{Bh}{3}=\frac{abh}{3}=9, \qquad abh=27,$$

a zbog svojstva geometrijskog niza je $b^2=ah$.

Iz posljednje dvije jednakosti dobivamo da je $b^3=27$, odnosno $b=3$.

Za duljine bočnog brida, visinu i pola dijagonale osnovke vrijedi

$$\left(\frac{\sqrt{94}}{2}\right)^2=h^2+\frac{a^2+b^2}{4},$$

odnosno $a^2+b^2=4\left(\dfrac{47}{2}-h^2\right)$. Budući da je $b=3$ i $b^2=ah$, rješavamo sljedeći sustav jednadžbi:

$$a^2+4h^2=85, \qquad ah=9.$$

Ovaj se sustav svodi na bikvadratnu jednadžbu $a^4-85a^2+324=0$, odnosno jednadžbu $(a^2-4)(a^2-81)=0$.

Pozitivna realna rješenja te jednadžbe su $2$ i $9$.

Budući je zadani niz rastući rješenje zadatka je $a=2$ cm, $b=3$ cm.

Napomena: Ako je netko sustav sveo na bikvadratnu jednadžbu $4h^4-85h^2+81=0$ slijedi da je $(h^2-1)(4h^2-81)=0$, pa je $h_1=1$ cm, $h_2=4.5$ cm. Tada iz $a=\dfrac9h$ i monotonosti niza slijedi konačno rješenje $a=2$ cm, $b=3$ cm.