2. Zadatak

Koordinate točke $C$ su $(\sqrt3,4)$, a točke $S(0,1)$. Polumjer trokutu opisane kružnice jednak je

$$R=\sqrt{(0-\sqrt3)^2+(1-4)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3.$$

Tada duljinu stranice danog trokuta računamo iz $R=\dfrac{a\sqrt3}{3}$ i ona iznosi $a=\dfrac{3R}{\sqrt3}=6$.

Kako se vrhovi $A$ i $B$ nalaze na kružnici opisanoj trokutu $ABC$, njihove koordinate zadovoljavaju jednadžbu $x^2+(y-1)^2=12$.

Također, iz $|AC|=6$ slijedi $(x-\sqrt3)^2+(y-4)^2=36$.

Oduzimanjem ovih dviju jednadžbi i sređivanjem dobivamo $y=-1-\dfrac{\sqrt3}{3}x$. Uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo kvadratnu jednadžbu $x^2+\sqrt3x-6=0$ kojoj su rješenja $x_1=-2\sqrt3$ i $x_2=\sqrt3$. Tada je $y_1=1$ i $y_2=-2$. Dakle, vrhu $A$ pridružen je kompleksan broj $-2\sqrt3+i$, a vrhu $B$ kompleksan broj $\sqrt3-2i$.