1. Zadatak

Rješenje jednadžbe mora zadovoljavati uvjete: $x>0$, $x\neq1$.

Lijeva strana jednadžbe je

$$\begin{aligned} &\log_{2020}\sqrt{x} +\log_{2020}\sqrt[4]{x} +\log_{2020}\sqrt[8]{x} +\ldots +\log_{2020}\sqrt[2^n]{x} +\ldots\\ &=\frac12\log_{2020}x +\frac14\log_{2020}x +\frac18\log_{2020}x +\ldots +\frac1{2^n}\log_{2020}x +\ldots\\ &=\left(\frac12+\frac14+\frac18+\ldots+\frac1{2^n}+\ldots\right)\log_{2020}x. \end{aligned}$$

Kako je $\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\ldots+\dfrac1{2^n}+\ldots$ geometrijski red s prvim članom $a_1=\dfrac12$ i kvocijentom $q=\dfrac12$, njegova suma je $\dfrac{\frac12}{1-\frac12}=1$ pa je lijeva strana dane jednadžbe jednaka $\log_{2020}x$.

Desna strana jednadžbe je

$$\frac{2}{\log_2x}+\log_x505=2\log_x2+\log_x505=\log_x2020.$$

Dakle, zadana jednadžba ekvivalentna je jednadžbi $\log_{2020}x=\log_x2020$. Slijedi

$$\log_{2020}x=\frac1{\log_{2020}x},$$

odnosno $(\log_{2020}x)^2=1$, tj. $\log_{2020}x=1$ ili $\log_{2020}x=-1$. Rješenja su $x=2020$ i $x=\dfrac1{2020}$.