5. Zadatak

Trokuti $ABP$ i $ADP$ su sukladni prema poučku SKS ($|AB|=|AD|$, $AP$ je zajednička stranica, a kut $\angle BAP$ je sukladan kutu $\angle DAP$). Stoga je $|BP|=|DP|$. Vrijedi $\angle PAB=45^\circ$ i to je obodni kut nad tetivom $PB$, a kut $\angle PCD=45^\circ$ je obodni nad $PD$. Stoga su pripadni središnji kutovi sukladni, $\angle BS_1P=\angle DS_2P=90^\circ$. Slijedi $\triangle BS_1P\cong\triangle DS_2P$ i $|S_1P|=|S_2P|$.

Tada je trokut $S_1PS_2$ jednakokračan, a kako je trokut $DES_2$ pravokutan (pravac $S_1S_2$ je simetrala dužina $CD$ i $AB$), redom vrijedi:

$$\angle PS_2S_1=30^\circ, \qquad \angle ES_2D=90^\circ-\angle PS_2S_1=60^\circ, \qquad \angle S_2DE=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$ $$\angle CDP=45^\circ-30^\circ=15^\circ, \qquad \angle PDA=75^\circ, \qquad \angle DPA=60^\circ.$$

Primijenimo poučak o sinusima na trokut $PDA$:

$$\frac{|PA|}{\sin75^\circ}=\frac{24}{\sin60^\circ}.$$

Tada je tražena duljina

$$|PA|=\frac{24\sin75^\circ}{\sin60^\circ} =\frac{24}{\frac{\sqrt3}{2}}\cdot(\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ) =4\sqrt6(\sqrt3+1).$$