3. Zadatak

Odredimo inverznu funkciju funkcije $f$. Zapišimo funkciju $f$ na sljedeći način:

$$y=f(x)=\frac{100^{-x}-100^x}{100^{-x}+100^x}\cdot\frac{100^x}{100^x}=\frac{1-100^{2x}}{1+100^{2x}}.$$

Nadalje vrijedi

$$y+y\cdot100^{2x}=1-100^{2x}$$

odnosno $100^{2x}(y+1)=1-y$, pa je $100^{2x}=\dfrac{1-y}{1+y}$.

Odatle je

$$x=\frac12\log_{100}\frac{1-y}{1+y}=\frac14\log\frac{1-y}{1+y}.$$

Za izraz iz zadatka mora vrijediti $x\in\langle-1,1\rangle$ i $1+2x\in\langle-1,1\rangle$, odnosno $-1<x<0$.

Slijedi

$$f^{-1}(x)=\frac14\log\frac{1-x}{1+x},$$

pa je

$$f^{-1}(1+2x) =\frac14\log\frac{1-(1+2x)}{1+(1+2x)} =\frac14\log\frac{-2x}{2+2x} =\frac14\log\frac{-x}{1+x}.$$

Konačno

$$\begin{aligned} f^{-1}(x)-f^{-1}(1+2x) &=\frac14\log\frac{1-x}{1+x}-\frac14\log\frac{-x}{1+x}\\ &=\frac14\left(\log\frac{1-x}{1+x}-\log\frac{-x}{1+x}\right)\\ &=\frac14\log\left(\frac{1-x}{1+x}:\frac{-x}{1+x}\right)\\ &=\frac14\log\frac{1-x}{-x}=\frac14\log\frac{x-1}{x}. \end{aligned}$$