1. Zadatak

Iz definicije logaritamske funkcije slijedi $x>0$.

Zapišemo li zadanu jednadžbu u obliku

$$x^2=\sqrt{2026}\cdot x^{\log_{2026}x}$$

te je logaritmiramo po bazi $2026$, dobivamo jednadžbu

$$\log_{2026}(x^2)=\log_{2026}\left(\sqrt{2026}\cdot x^{\log_{2026}x}\right).$$

Nadalje, primijenimo li svojstva logaritamske funkcije dobivamo sljedeći niz jednakosti:

$$\begin{aligned} \log_{2026}(x^2) &=\log_{2026}(\sqrt{2026})+\log_{2026}\left(x^{\log_{2026}x}\right),\\ 2\log_{2026}x &=\frac12+\log_{2026}x\cdot\log_{2026}x,\\ (\log_{2026}x)^2-2\log_{2026}x+\frac12&=0. \end{aligned}$$

Uvođenjem supstitucije $\log_{2026}x=t$ jednadžba

$$(\log_{2026}x)^2-2\log_{2026}x+\frac12=0$$

se svodi na kvadratnu jednadžbu

$$t^2-2t+\frac12=0.$$

Rješenja kvadratne jednadžbe jesu

$$t_{1,2}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

Iz

$$\log_{2026}x=1\pm\frac{\sqrt2}{2}$$

slijedi

$$x_1=2026^{1+\frac{\sqrt2}{2}} \quad\text{i}\quad x_2=2026^{1-\frac{\sqrt2}{2}}.$$

Konačno, umnožak rješenja jednak je

$$x_1\cdot x_2=2026^{1+\frac{\sqrt2}{2}}\cdot2026^{1-\frac{\sqrt2}{2}}=2026^2.$$

Napomena: Rješenja $t_1$ i $t_2$, odnosno $x_1$ i $x_2$ nije potrebno računati. Budući da vrijedi

$$x_1\cdot x_2=2026^{t_1}\cdot2026^{t_2}=2026^{t_1+t_2},$$

dovoljno je odrediti $t_1+t_2$. Primjenom Vièteovih formula znamo da za rješenja jednadžbe

$$t^2-2t+\frac12=0$$

vrijedi $t_1+t_2=2$, tj. $x_1\cdot x_2=2026^2$. Nije nužno uvođenje supstitucije.