2. Zadatak

Prvo rješenje

Razmotrimo dva slučaja.

Prvo odredimo broj peteroznamenkastih brojeva koji sadrže točno dvije različite znamenke od kojih niti jedna znamenka nije znamenka nula. Dvije različite znamenke $a$ i $b$ od kojih niti jedna znamenka nije nula možemo odabrati na

$$\frac{9\cdot8}{2}=36$$

načina.

Peteroznamenkastih brojeva zapisanih pomoću znamenaka $a$ i $b$ ima $2^5$.

Među tih $2^5$ brojeva zapisanih pomoću znamenaka $a$ i $b$ nalaze se i brojevi zapisani s točno jednom znamenkom, tj. brojevi $\overline{aaaaa}$ i $\overline{bbbbb}$, koje trebamo izbaciti. Dakle, peteroznamenkastih brojeva koji sadrže i znamenku $a$ i znamenku $b$ ima $2^5-2$.

Stoga različitih peteroznamenkastih brojeva koji sadrže točno dvije različite znamenke od kojih niti jedna nije jednaka nula ima

$$36\cdot(2^5-2)=36\cdot30=1080.$$

Odredimo sada broj peteroznamenkastih brojeva koji su zapisani pomoću dvije različite znamenke od kojih je jedna jednaka nula. Tada drugu znamenku $a$, različitu od nule, možemo odabrati na $9$ načina.

Peteroznamenkastih brojeva su zapisani pomoću znamenke $a$ i nule ima $2^4=16$. U tih $16$ brojeva ubrojen je i broj $\overline{aaaaa}$. Stoga peteroznamenkastih brojeva koji su zapisani pomoću znamenke $a$ i znamenke $0$ ima $2^4-1$.

Dakle, različitih peteroznamenkastih brojeva koji su zapisani pomoću točno dvije različite znamenke od kojih je jedna jednaka nula ima

$$9\cdot(2^4-1)=135.$$

Konačno, peteroznamenkastih brojeva koji su zapisani pomoću točno dvije različite znamenke ima

$$1080+135=1215.$$

Drugo rješenje

Neka su $a$ i $b$ znamenke koje se pojavljuju u zapisu broja, te neka je $a$ vodeća znamenka.

Ako broj sadrži četiri znamenke $a$ i jednu znamenku $b$, tada imamo $4$ mogućnosti:

$$\overline{abaaa},\ \overline{aabaa},\ \overline{aaaba},\ \overline{aaaab}.$$

Ako broj sadrži tri znamenke $a$ i dvije znamenke $b$, tada imamo $6$ mogućnosti:

$$\overline{abbaa},\ \overline{ababa},\ \overline{abaab},\ \overline{aabba},\ \overline{aabab},\ \overline{aaabb}.$$

Ako broj sadrži dvije znamenke $a$ i tri znamenke $b$, tada imamo $4$ mogućnosti:

$$\overline{aabbb},\ \overline{ababb},\ \overline{abbab},\ \overline{abbba}.$$

Ako broj sadrži jednu znamenku $a$ i četiri znamenke $b$, tada je samo jedna mogućnost

$$\overline{abbbb}.$$

Dakle, imamo $4+6+4+1=15$ mogućih rasporeda znamenaka $a$ i $b$.

Za svaki od tih rasporeda znamenku $a$ možemo odabrati na $9$ načina (to može biti bilo koja znamenka osim nule).

Također i znamenku $b$ možemo odabrati na $9$ načina (to može biti bilo koja znamenka osim znamenke $a$).

Stoga je broj svih peteroznamenkastih brojeva koji imaju točno dvije različite znamenke jednak

$$15\cdot9\cdot9=1215.$$