5. Zadatak

Prvo rješenje

Neka je $G$ središte kružnice opisane trokutu $ABE$, $H$ središte kružnice opisane trokutu $CDF$, te neka je točka $T$ sjecište dužina $\overline{GH}$ i $\overline{EF}$. Duljinu dužine $\overline{CF}$ označimo s $x$.

Budući da su trokuti $ABE$ i $CDF$ pravokutni, hipotenuza $\overline{BE}$ je promjer kružnice opisane trokutu $ABE$, a hipotenuza $\overline{FD}$ promjer je kružnice opisane trokutu $CDF$.

Iz pravokutnog trokuta $ABE$ primjenom Pitagorina poučka dobivamo

$$|BE|=\sqrt{12^2+9^2}=15.$$

Analogno, iz pravokutnog trokuta $CDF$ slijedi

$$2r=|FD|=\sqrt{12^2+x^2}.$$

Budući da se kružnice opisane trokutima $ABE$ i $CDF$ dodiruju izvana, zbroj njihovih polumjera jednak je udaljenosti njihovih središta, tj. vrijedi

$$|GH|=7.5+r.$$

Kako je dužina $\overline{GT}$ srednjica trokuta $BFE$, a dužina $\overline{TH}$ srednjica trokuta $DEF$, prema poučku o srednjici trokuta slijedi

$$|GT|=\frac12\cdot|BF|=\frac{30-x}{2} \qquad\text{i}\qquad |TH|=\frac12|DE|=\frac{21}{2}.$$

Iz jednakosti

$$|GT|+|TH|=|GH|=7.5+r$$

dobivamo jednadžbu

$$\frac{30-x}{2}+\frac{21}{2}=7.5+\frac12\cdot\sqrt{12^2+x^2},$$

koja se sređivanjem svodi na jednadžbu

$$36-x=\sqrt{144+x^2}.$$

Kvadriranjem dobivamo jednadžbu

$$(36-x)^2=144+x^2,$$

čije je jedino rješenje $x=16$.

Rješenje zadovoljava jednadžbu

$$36-x=\sqrt{144+x^2},$$

pa vrijedi $|CF|=16$.

Drugo rješenje

Smjestimo pravokutnik $ABCD$ u koordinatni sustav kao na slici. Neka je $G$ središte kružnice opisane trokutu $ABE$, te $H$ središte kružnice opisane trokutu $CDF$.

Koordinate vrhova pravokutnika i istaknutih točaka su

$$A(0,12),\quad B(0,0),\quad C(30,0),\quad D(30,12),\quad E(9,12),\quad F(f,0).$$

Središte trokutu $ABE$ opisane kružnice je polovište hipotenuze $\overline{BE}$, pa su koordinate točke

$$G\left(\frac92,6\right).$$

Analogno, središte trokutu $CDF$ opisane kružnice je polovište hipotenuze $\overline{DF}$, pa su koordinate točke

$$H\left(\frac{30+f}{2},6\right).$$

Iz pravokutnog trokuta $ABE$ primjenom Pitagorina poučka dobivamo

$$|BE|=\sqrt{12^2+9^2}=15.$$

Analogno, iz pravokutnog trokuta $CDF$ slijedi

$$2r=|FD|=\sqrt{12^2+(30-f)^2}.$$

Budući da se kružnice opisane trokutima $ABE$ i $CDF$ dodiruju izvana, udaljenost između njihovih središta jednaka je zbroju njihovih polumjera, tj. vrijedi

$$|GH|=\frac{15}{2}+r.$$

S druge strane, udaljenost između točaka $G$ i $H$ jednaka je razlici njihovih apscisa, tj. vrijedi

$$|GH|=\frac{30+f}{2}-\frac92=\frac{21+f}{2}.$$

Izjednačavanjem izraza za $|GH|$ i uvrštavanjem izraza za $r$, dobivamo jednadžbu

$$\frac{21+f}{2}=\frac{15}{2}+\frac12\cdot\sqrt{12^2+(30-f)^2}.$$

Sređivanjem dobivamo jednadžbu

$$6+f=\sqrt{144+(30-f)^2}.$$

Kvadriranjem dobivamo

$$(6+f)^2=144+(30-f)^2,$$

čije je jedino rješenje $f=14$.

To rješenje zadovoljava

$$6+f=\sqrt{144+(30-f)^2},$$

pa je $|CF|=30-14=16$.