4. Zadatak

Zapišemo li tangens kao omjer sinusa i kosinusa te kvadriramo zadane izraze, dobivamo sljedeći niz jednakosti

$$\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=4\cos^2y,\qquad \frac{\sin^2y}{\cos^2y}=9\cos^2z,\qquad \frac{\sin^2z}{\cos^2z}=49\cos^2x.$$

Koristeći osnovnu relaciju među trigonometrijskim funkcijama $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$, zamijenimo u dobivenim jednadžbama funkciju sinus funkcijom kosinus

$$\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}=4\cos^2y,\qquad \frac{1-\cos^2y}{\cos^2y}=9\cos^2z,\qquad \frac{1-\cos^2z}{\cos^2z}=49\cos^2x.$$

Uvedemo li supstitucije $\cos^2x=a$, $\cos^2y=b$ i $\cos^2z=c$ zadatak svodimo na rješavanje sljedećeg sustava jednadžbi

$$\frac{1-a}{a}=4b,\qquad \frac{1-b}{b}=9c,\qquad \frac{1-c}{c}=49a.$$

Budući da trebamo odrediti realan broj $a$ eliminirajmo nepoznanice $b$ i $c$. Izrazimo li iz treće jednadžbe

$$c=\frac1{49a+1},$$

te uvrstimo u drugu dobivamo

$$\frac{1-b}{b}=\frac9{49a+1}.$$

Nadalje, izrazimo li iz dobivene jednadžbe

$$b=\frac{49a+1}{49a+10},$$

i uvrstimo u prvu jednadžbu dobivamo jednadžbu

$$\frac{1-a}{a}=\frac{4(49a+1)}{49a+10},$$

koja se sređivanjem svodi na kvadratnu jednadžbu

$$49a^2-7a-2=0.$$

Jedino pozitivno rješenje te jednadžbe je $a=\frac27$, pa zaključujemo da je

$$\cos^2x=\frac27.$$

Budući da je

$$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1,$$

dobivamo

$$\cos 2x=2\cdot\frac27-1=-\frac37.$$

Napomena: Budući da je $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x$, sve tri zadane jednakosti možemo zapisati i pomoću funkcije sinus pri čemu dobivamo sljedeći sustav

$$\frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}=4-4\sin^2y,\qquad \frac{\sin^2y}{1-\sin^2y}=9-9\sin^2z,\qquad \frac{\sin^2z}{1-\sin^2z}=49-49\sin^2x.$$

Eliminacijom $\sin^2y$ i $\sin^2z$ dobivamo jednadžbu

$$49\sin^4x-91\sin^2x+40=0,$$

čija rješenja su $\frac57$ i $\frac87$. Budući da je $\sin x<1$, zaključujemo

$$\sin^2x=\frac57 \qquad\text{i}\qquad \cos 2x=-\frac37.$$