7. Zadatak

Prvo rješenje.

Povucimo dijagonalu $DB$. Trokut $DAB$ je pravokutan i vrijedi:

$$\angle BAD=\angle BAE+\angle EAD=90^\circ.$$

Trokut $AFD$ je pravokutan i vrijedi:

$$\angle DAF+\angle ADF=90^\circ,$$

te vrijedi da je $\angle EAB=\angle ADF$. (Ista jednakost može se pokazati koristeći svojstvo kutova s okomitim kracima).

Pravokutni trokuti $AEB$ i $AFD$ imaju isti šiljasti kut pa su prema poučku KK slični. Stoga su sljedeći omjeri jednaki

$$\frac{|AF|}{|DF|}=\frac{|BE|}{|AE|}=\frac53,$$

pa vrijedi

$$|AF|=\frac53|DF|.$$

Na isti način pokažemo da je $\angle CDF=\angle BCE$.

Iz $\triangle CFD\sim\triangle BEC$ slijedi

$$\frac{|CF|}{|DF|}=\frac{|BE|}{|CE|}=\frac57,$$

pa vrijedi

$$|CF|=\frac57|DF|.$$

Kako je $|AE|+|EC|=|AF|+|FC|=10$, slijedi da je

$$\frac53|DF|+\frac57|DF|=10,$$

odnosno

$$|DF|=\frac{21}{5}=4.2.$$

Drugo rješenje.

Slika je ista kao i u prvom rješenju.

Vrijedi $|AC|=10$, $|CD|=c$, $|AD|=d$. Tada primjenom Pitagorinog poučka na trokute $ABE$, $BCE$, $ABD$ i $BCD$ redom slijedi:

$$|AB|^2=3^2+5^2=34,$$ $$|BC|^2=5^2+7^2=74,$$ $$|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2=34+d^2,$$ $$|BD|^2=|BC|^2+|CD|^2=74+c^2.$$

Oduzimanjem zadnjih dviju jednakosti dobivamo

$$d^2-c^2=40.$$

Budući da je zbroj nasuprotnih kutova 180° dani je četverokut tetivni.

Tada su obodni kutovi $\angle BDC$ i $\angle BAE$ nad tetivom $BC$ sukladni, pa vrijedi

$$\operatorname{tg}(\angle BDC)=\operatorname{tg}(\angle BAE),$$ $$\frac{\sqrt{74}}{c}=\frac53,$$ $$c=\frac{3\sqrt{74}}5.$$ $$d^2=40+\left(\frac{3\sqrt{74}}5\right)^2=\frac{1666}{25},$$ $$d=\frac{7\sqrt{34}}5.$$

Površinu četverokuta $ABCD$ možemo računati kao zbroj površina trokuta $ABC$ i $ADC$ ili zbroj površina trokuta $BCD$ i $BAD$, pa vrijedi

$$\frac{|DF|\cdot10}{2}+\frac{5\cdot10}{2}=\frac{c\sqrt{74}}2+\frac{d\sqrt{34}}2,$$ $$|DF|\cdot10+50=\frac{3\cdot74}{5}+\frac{7\cdot34}{5},$$ $$|DF|=4.2.$$