3. Zadatak

Neka su duljine stranica trokuta $|AC|=n-1$, $|AB|=n$ i $|BC|=n+1$, kao na slici.

$\overline{CN}$ je visina na stranicu $\overline{AB}$, srednju stranicu po duljini, a $x$ i $y$ duljine odsječaka, na koje točka $N$ dijeli stranicu $\overline{AB}$. Tada iz pravokutnih trokuta $ANC$ i $NBC$, prema Pitagorinom poučku slijedi

$$(n-1)^2-x^2=v^2,$$ $$(n+1)^2-y^2=v^2.$$

Izjednačimo li dobivene izraze za kvadrat visine, redom slijedi

$$(n-1)^2-x^2=(n+1)^2-y^2,$$ $$n^2-2n+1-n^2-2n-1=x^2-y^2,$$ $$y^2-x^2=4n.$$

Primjenom formule za razliku kvadrata dobivamo

$$(y+x)(y-x)=4n.$$

Kako je $y+x=n$ slijedi da je

$$(y+x)(y-x)=4n,$$

odnosno

$$y-x=4.$$

Tražena razlika odsječaka jest 4.