5. Zadatak

Tri prijateljice Marta, Iva i Ana jako vole putovati. Marta je posjetila 20 država, Iva 90% država više nego Marta, a Ana 13 država manje nego Iva. Ana je posjetila 40% država u kojima je bila Marta, a Iva je posjetila petinu država u kojima je bila Ana i polovinu država u kojima je bila Marta. Broj država koje su posjetile sve tri prijateljice 16 je puta manji od ukupnog broja država koje su posjetile. Koliko su ukupno država posjetile?

Prvo rješenje.

Označimo s $k(M)$ broj država koje je posjetila Marta, s $k(I)$ broj država koje je posjetila Iva te s $k(A)$ broj država koje je posjetila Ana. Tada je prema uvjetima iz zadatka

k(M)=20,\qquad k(I)=38,\qquad k(A)=25.

k(M\cap A)=8,\qquad k(I\cap A)=5,\qquad k(M\cap I)=10.

Označimo s $x$ broj država koje su posjetile sve prijateljice, tj. $k(M\cap I\cap A)=x$ . Tada je $k(M\cup I\cup A)=16x$ , pa primjenom formule

k(M\cup I\cup A)=k(M)+k(I)+k(A)-k(M\cap A)-k(I\cap A)-k(M\cap I)+k(M\cap I\cap A)

slijedi

16x=20+38+25-8-5-10+x,

odnosno $x=4$ .

Prijateljice su ukupno posjetile 64 države.

Drugo rješenje.

Marta je posjetila 20 država, Iva 38, a Ana 25.

Marta i Ana su posjetile 8 država. Ana i Iva 5 država, te Marta i Iva 10 država.

Označimo s $x$ broj država koje su posjetile sve tri prijateljice. Prikažimo ove podatke o broju država s pomoću Vennovih dijagrama.

Prvo ćemo upisati podatke o broju elemenata presjeka tri skupa, a zatim podatke o broju elemenata presjeka po dva skupa.

Prvi Vennov dijagram

Ostala polja u dijagramu popunjavamo na sljedeći način.

Samo Marta je bila u $20-(10-x)-(8-x)-x=2+x$ država.

Samo Iva je bila u $38-(10-x)-(5-x)-x=23+x$ država.

Samo Ana je bila u $25-(8-x)-(5-x)-x=12+x$ država.

Drugi Vennov dijagram

Tada je

16x=2+x+23+x+12+x+10-x+5-x+8-x+x,

odnosno $x=4$ .

Prijateljice su ukupno posjetile 64 države.