6. Zadatak

Riješimo prvo jednadžbu $2a-1=\frac{3-3a}{x-1}$. Uočimo da mora vrijediti $x\ne1$. Nakon množenja jednadžbe s $x-1$ i sređivanja dobivenih algebarskih izraza, redom slijedi:

$$2ax-2a-x+1=3-3a,$$ $$x(2a-1)=2-a,$$ $$x=\frac{2-a}{2a-1},\qquad a\ne\frac12.$$

Kako je $x\ne1$, iz $\frac{2-a}{2a-1}\ne1$ slijedi

$$2-a\ne2a-1,$$

odnosno $a\ne1$.

Dakle za $a\in\mathbb{R}$, $a\ne\frac12$ i $a\ne1$ jednadžba ima jedinstveno rješenje

$$x=\frac{2-a}{2a-1}.$$

Riješimo i drugu jednadžbu.

$$a^2(2x-4)-1=a(4-5x)-2x$$ $$2xa^2-4a^2-1=4a-5ax-2x$$ $$x(2a^2+5a+2)=4a^2+4a+1$$ $$x(2a^2+4a+a+2)=(2a+1)^2$$ $$x[2a(a+2)+a+2]=(2a+1)^2$$ $$x(a+2)(2a+1)=(2a+1)^2.$$

Iz ove jednakosti zaključujemo da za $a\in\mathbb{R}$, $a\ne-\frac12$ i $a\ne-2$ jednadžba ima jedinstveno rješenje

$$x=\frac{2a+1}{a+2}.$$

Izjednačimo rješenja zadanih jednadžbi.

$$\frac{2-a}{2a-1}=\frac{2a+1}{a+2}$$

Slijedi $4-a^2=4a^2-1$, pa je $a^2=1$, a

$$a=\pm1.$$

Zbog $a\ne1$ slijedi da jedino za $a=-1$ jednadžbe imaju jednako rješenje.