3. Zadatak

U jednakokračnome je trapezu jedna osnovica četiri puta dulja od druge, duljina kraka iznosi $6$ cm, a mjera je šiljastoga kuta $60^\circ$ . Trapez je podijeljen na pet trokuta jednakih površina tako da svi vrhovi tih trokuta pripadaju osnovicama trapeza, a svaki vrh trapeza može biti zajednički vrh najviše trima trokutima.

Odredi površinu toga trapeza i zbroj opsega svih pet navedenih trokuta.

Trapez podijeljen na pet trokuta

Budući da svi trokuti imaju vrhove na osnovicama, njihova je visina jednaka visini trapeza. Uz jednake površine, slijedi da moraju imati sukladne osnovice. Budući da je jedna osnovica trapeza četiri puta dulja od druge, dulju osnovicu dijelimo na četiri dijela, te zaključujemo da će svaki od tih dijelova biti osnovica jednog od četiri trokuta, a treći vrh tih trokuta će biti ili točka $C$ ili točka $D$ . Ako bi točka $C$ bila vrh barem trima trokutima s osnovicom na $AB$ , onda bi ta točka bila zajednički vrh barem četiri trokuta jednake površine, što nije moguće prema uvjetu u zadatku. Na isti način argumentiramo u vezi točke $D$ i dolazimo do zaključka da točno dva trokuta s osnovicom na $AB$ moraju imati točku $C$ kao treći vrh, te točno dva takva trokuta imaju $D$ kao treći vrh.

Dakle, jedini raspored trokuta koji zadovoljava sve uvjete je prikazan na slici.

Na osnovici $AB$ označimo točke $E$ , $F$ i $P$ takve da je $|AF|=|FP|=|PE|=|EB|=x$ . Paralela sa stranicom $BC$ kroz točku $D$ siječe stranicu $AB$ u točki $E$ , pa je četverokut $EBCD$ paralelogram.

Svi kutovi trokuta $AED$ su $60^\circ$ , pa je trokut $AED$ jednakostraničan.

Slijedi da je $3x=6$ , odnosno $x=2$ cm.

Nadalje, $|CD|=x=2$ cm, $|AB|=4x=8$ cm.

Kako je $\sin60^\circ=\frac v6$ ili $6^2=v^2+(1.5x)^2$ , slijedi $v=3\sqrt3$ cm.

Površina trapeza $ABCD$ iznosi:

P=\frac{4x+x}{2}\cdot v=\frac{5\cdot2}{2}\cdot3\sqrt3=15\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.

Nadalje,

|CE|=\sqrt{v^2+\left(\frac x2\right)^2} =\sqrt{(3\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{27+1}=2\sqrt7\ \mathrm{cm}.

Zbroj opsega svih pet trokuta:

o=5x+2\cdot|AD|+8\cdot|CE| =10+2\cdot6+8\cdot2\sqrt7 =22+16\sqrt7=2(11+8\sqrt7)\ \mathrm{cm}.