5. Zadatak

Sređivanjem dobivamo:

$$\begin{aligned} \left(a+\frac cb\right)^2+\left(b+\frac ca\right)^2 &=a^2+2a\cdot\frac cb+\frac{c^2}{b^2}+b^2+2b\cdot\frac ca+\frac{c^2}{a^2}\\ &=a^2+\frac{c^2}{a^2}+b^2+\frac{c^2}{b^2}+2c\left(\frac ab+\frac ba\right). \end{aligned}$$

Primjenom nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine dobivamo:

$$a^2+\frac{c^2}{a^2}\ge2c,\qquad b^2+\frac{c^2}{b^2}\ge2c,\qquad \frac ab+\frac ba\ge2,$$

pa slijedi:

$$\left(a+\frac cb\right)^2+\left(b+\frac ca\right)^2 \ge2c+2c+4c=8c,$$

što je i trebalo pokazati.