2. Zadatak

Množenjem zbroja svih elemenata prvog skupa i zbroja svih elemenata drugog skupa dobivamo zbroj svih umnožaka jednog broja iz prvog skupa i jednog broja iz drugoga skupa, pa je zato

$$S_k=(6+8+10+\cdots+2k)\cdot(5+7+9+\cdots+(2k-1)).$$

Uočimo da vrijedi

$$\begin{aligned} 6+8+10+\cdots+2k &=2\cdot(3+4+5+\cdots+k)\\ &=2\cdot(1+2+3+4+5+\cdots+k)-2\cdot(1+2)\\ &=2\cdot\frac{k(k+1)}2-6=k^2+k-6=(k-2)(k+3). \end{aligned}$$

Na sličan način zaključujemo da je

$$\begin{aligned} 5+7+9+\cdots+(2k-1) &=1+2+3+4+5+\cdots+(2k-1)+2k\\ &\quad-(1+2+3+4)-(6+8+10+\cdots+2k)\\ &=\frac{2k(2k+1)}2-10-(k-2)(k+3)\\ &=2k^2+k-10-k^2-k+6=k^2-4=(k-2)(k+2). \end{aligned}$$

Vrijedi

$$S_k=(k-2)^2(k+2)(k+3),$$

odnosno

$$(k-2)^2(k+2)(k+3)=21000=2^3\cdot3\cdot5^3\cdot7.$$

Imamo sljedeće mogućnosti:

• Ako je $(k-2)^2=4\Rightarrow k=4\Rightarrow k+2=6$, $k+3=7$, ali to ne daje $21000$.

• Ako je $(k-2)^2=25\Rightarrow k=7\Rightarrow k+2=9$, $k+3=10$, također ne daje $21000$.

• Ako je $(k-2)^2=100\Rightarrow k=12\Rightarrow k+2=14$, $k+3=15$, tada je:

  $$S_k=100\cdot14\cdot15=21000.$$

Prema tome, za $k=12$, zbroj svih umnožaka je $21000$.