5. Zadatak

Neka je $\alpha=\angle CAB$, $\beta=\angle CBA$ i $\gamma=\angle BCA$.

Kako je zbroj kutova u trokutu jednak $180^\circ$, iz trokuta $ABS$ dobivamo

$$\frac\alpha2+\frac\beta2+135^\circ=180^\circ,$$

odnosno $\alpha+\beta=90^\circ$.

Dakle, $\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)=90^\circ$.

Prema tome, trokut $ABC$ je pravokutan s pravim kutom pri vrhu $C$, te je točka $P$ polovište hipotenuze i ujedno središte trokutu $ABC$ opisane kružnice.

Konačno, duljina težišnice je $|CP|=|AP|=|BP|=\dfrac12|AB|=5$ cm.