4. Zadatak

Dakle, treba odrediti sve cijele brojeve $a$ za koje je razlomak $\dfrac{a+a^2-1}{a-1}$ cijeli broj.

Taj razlomak možemo zapisati u sljedećem obliku:

$$\begin{aligned} \frac{a+a^2-1}{a-1} &=\frac{a^2-1+a}{a-1}\\ &=\frac{(a-1)(a+1)+(a-1)+1}{a-1}\\ &=\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}+\frac{a-1}{a-1}+\frac1{a-1}\\ &=a+1+1+\frac1{a-1}\\ &=a+2+\frac1{a-1}. \end{aligned}$$

Sad je očito da će razlomak $\dfrac{a+a^2-1}{a-1}$ biti cijeli broj samo ako je razlomak $\dfrac1{a-1}$ cijeli broj, tj. ako je $a-1$ jednako $-1$ ili $1$. Dakle, $a\in\{0,2\}$.