6. Zadatak

Izraz $x^2+6xy+8y^2+3x+6y$ možemo zapisati u obliku $x^2+6xy+8y^2+3x+6y=(x+3y)^2-y^2+3x+6y$ odakle faktorizacijom dobivamo sljedeći niz jednakosti:

$$(x+3y)^2-y^2+3x+6y=(x+2y)(x+4y)+3(x+2y)=(x+2y)(x+4y+3).$$

Dakle, vrijedi $(x+2y)(x+4y+3)=2$.

Kako su $x$ i $y$ cijeli brojevi zaključujemo da je jedan od faktora izraza $(x+2y)(x+4y+3)$ jednak $1$, a drugi $2$ ili je jedan od faktora jednak $-1$, a drugi $-2$.

Rješavanjem sustava

$$\begin{cases} x+2y=2,\\ x+4y+3=1 \end{cases}$$

dobivamo $x=6$ i $y=-2$.

Iz

$$\begin{cases} x+2y=1,\\ x+4y+3=2 \end{cases}$$

dobivamo $x=3$ i $y=-1$.

Analogno, rješavanjem sustava

$$\begin{cases} x+2y=-2,\\ x+4y+3=-1 \end{cases}$$

nalazimo da je $x=0$, $y=-1$, a iz sustava

$$\begin{cases} x+2y=-1,\\ x+4y+3=-2 \end{cases}$$

dobivamo $x=3$ i $y=-2$.

Dakle, imamo četiri rješenja: $(6,-2)$, $(3,-1)$, $(0,-1)$, $(3,-2)$.